[論文レビュー] Veech groups, irrational billiards and stable abelian differentials

Ferrán Valdez|ArXiv.org|May 11, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非有理角を持つ多角形台球と不可約安定アーベル微分形式から生じる非コンパクトな平坦な曲面のヴェーチ群を調査する。非有理台球では、共振が存在しない場合、ヴェーチ群はSO(2,R)に含まれ、無限生成である。安定アーベル微分形式において残留項が非平行な場合、群は有限であるが、残留項が平行な場合、群は特定の部分群Nに含まれ、離散的であるかNに等しいことがある。

ABSTRACT

We describe Veech groups of flat surfaces arising from irrational angled polygonal billiards or irreducible stable abelian differentials. For irrational polygonal billiards, we prove that these groups are non-discrete subgroups of SO(2,R) and we calculate their rank.

研究の動機と目的

• 非コンパクトで無限種数を持つ平坦曲面のヴェーチ群を特徴づけること。
• デリーニ＝ムーディのコンパクト化の境界における非可約ノーダルリーマン面に定義された安定アーベル微分形式へのヴェーチ群の概念を拡張すること。
• ロッホ・ネス・モンスターと同相な平坦曲面で、SO(2,R)内に無限生成なヴェーチ群を持つ、非可算個の曲面を構成すること。
• 特異点およびホロノミー・ベクトルの幾何学的・力学的性質に基づいてヴェーチ群の構造を分析すること。
• ヴェーチ群が有限、離散的、またはSO(2,R)内の最大部分群Nに等しくなる条件を特定すること。

提案手法

• 有限または無限の角度特異点を持つ「たんたる平坦曲面」の概念を導入し、良好な計量的完備性を保証する。
• 非有理角を持つ非有界多角形にカトック＝ツェムリャコフの構成を適用し、ロッホ・ネス・モンスターと同相な平坦曲面を生成する。
• 非コンパクト曲面における向きを保つアフィンホメオモルフィズムの導関数としてヴェーチ群を定義する。
• 形式 $\begin{pmatrix} \cos(2\lambda_j\pi) & -\sin(2\lambda_j\pi) \\ \sin(2\lambda_j\pi) & \cos(2\lambda_j\pi) \end{pmatrix}$ の回転行列とホロノミー・ベクトルを用いてヴェーチ群を生成する。
• 群論的基準を適用：安定微分形式の残留項が $\mathbf{C} \simeq \mathbf{R}^2$ 内で非平行であれば、ヴェーチ群は有限である。
• すべての残留項が平行な場合、ヴェーチ群は $N = \langle \{ \begin{smallmatrix} 1 & s \\ 0 & t \end{smallmatrix} \mid t>0, s\in\mathbb{R} \}, -\mathrm{Id} \rangle$ に含まれ、離散的であるか $N$ に等しい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有理多角形台球から構成された平坦曲面のヴェーチ群の構造は何か？
• RQ2 ノーダルリーマン面上の安定アーベル微分形式のヴェーチ群が有限または無限である条件は何か？
• RQ3 SO(2,R)内に無限生成なヴェーチ群を持つ非可算個の平坦曲面を構成できるか？
• RQ4 角度の共振のない条件がヴェーチ群のランクおよび構造にどのように影響するか？
• RQ5 安定微分形式のヴェーチ群が離散的か最大部分群Nに等しいかを決定づける要因は何か？

主な発見

• 少なくとも1つの非有理角を持つ任意の非有理多角形台球に対して、ヴェーチ群はSO(2,R)の非離散部分群である。
• 内部角の列 $\lambda_j\pi$ が共振を含まない場合、ヴェーチ群は無限生成である。
• 安定アーベル微分形式の残留項が $\mathbf{C}$ 内で非平行であれば、ヴェーチ群は有限である。
• すべての残留項が平行な場合、ヴェーチ群は部分群 $N = \langle \{ \begin{smallmatrix} 1 & s \\ 0 & t \end{smallmatrix} \mid t>0, s\in\mathbb{R} \}, -\mathrm{Id} \rangle$ に含まれる。
• すべてのホロノミー・ベクトルが水平である場合、ヴェーチ群は $N$ に等しい。それ以外の場合は、$N$ の離散部分群である。
• ロッホ・ネス・モンスターと同相で、SO(2,R)内に無限生成なヴェーチ群を持つ、非可算族 $\mathcal{S}_n = \{S_i\}_{i\in I}$ の平坦曲面が存在する。