[論文レビュー] Velocity averaging and Hölder regularity for kinetic Fokker-Planck equations with general transport operators and rough coefficients

Yuzhe Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2020

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、速度平均化補題とDe Giorgi-Nash-Moser理論を組み合わせることで、一般の輸送作用素と粗い係数をもつ運動論的Fokker-Planck方程式の弱解の局所有界性およびHölder連続性を確立する。主な貢献は、輸送場 $ b(v) $ に対して最小限の非退化性条件のもとでこれらの正則性特性を示したことであり、従来の $ b(v) = v $ の場合から、$ b \in L^ty \cap H^1 $ でレベル集合が制御可能な一般の $ b $ への拡張を達成している。

ABSTRACT

This article addresses the local boundedness and Hölder continuity of weak solutions to kinetic Fokker-Planck equations with general transport operators and rough coefficients. These results are due to the mixing effect of diffusion and transport. Although the equation is parabolic only in the velocity variable, it has a hypoelliptic structure provided that the transport part $\partial_t+b(v)\cdot abla_x$ is nondegenerate in some sense. We achieve the results by revisiting the method, proposed by Golse, Imbert, Mouhot and Vasseur in the case $b(v)= v$, that combines the elliptic De Giorgi-Nash-Moser theory with velocity averaging lemmas.

研究の動機と目的

• 一般の輸送作用素と粗い係数をもつ運動論的Fokker-Planck方程式の弱解の局所有界性を確立すること。
• 輸送場 $ b(v) $ に非退化性条件が成立するもとで、解のHölder連続性を証明すること。
• De Giorgi-Nash-Moser理論を、$ b(v) = v $ に限らない一般の $ b(v) $ をもつ運動論的方程式に拡張すること。
• 非退化性がある場合に、速度平均化補題が速度変数における楕円的正則性の欠如を補う方法を示すこと。
• データノルムの関数として、解の振動および $ C^\beta $ ノルムの定量的推定を得ること。

提案手法

• Golse, Imbert, Mouhot, Vasseurの手法を再考し、運動論的方程式における速度平均化補題とDe Giorgi-Nash-Moser理論を組み合わせる。
• 輸送場の非退化性を、レベル集合の測度による境界として表現する：$ \big{|}\{v \in B_r(v_0) : |\mu + b(v)\cdot\nu| \leq \epsilon\}\big{|} \leq K r^{d_2-1} \epsilon $ により、輸送と拡散の混合効果を制御する。
• Hölder連続性を強化するためのスケーリング変換を用い、$ b \in C^1 $ かつ $ Db $ のモジュラスの連続性が制御可能であることを要件とする。
• 内在的放物型シリンダ $ \mathcal{C}_r $ を用いて、運動論的幾何における修正されたDe Giorgi反復スキームを適用し、劣微分的構造に対処する。
• 解の正負部分を制御するためのカットオフおよびトレンケーション技術を導入し、問題を劣解推定に還元する。
• 定性的な等周的補題を用いて、特性関数の微分が $ L^p $ で有界ならば、それが非正でなければならないことを示し、これにより振動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の輸送場 $ b(v) $ と粗い係数をもつ運動論的Fokker-Planck方程式に対して、局所有界性を確立できるか？
• RQ2 解がHölder連続性を満たすための $ b(v) $ に対する条件は何か？
• RQ3 速度平均化補題は、速度変数における楕円的正則性の欠如をどの程度補えるか？
• RQ4 レベル集合の厚さで測られる $ b(v) $ の非退化性は、解の正則性にどのように影響するか？
• RQ5 De Giorgi-Nash-Moser理論は、非アフィンな輸送作用素をもつ運動論的方程式に適応可能か？

主な発見

• 非退化性条件 (1.3) のもとで、部分解に対して局所有界性が成立し、$ s \in L^q $ かつ $ q > \frac{(4+\alpha)(4+d_2)(1+d_1+d_2)}{2\alpha} $ のとき、$ f^+ $ は $ Q_{\text{int}} $ で有界である。
• $ f^+ $ の $ L^\infty $ ノルムは $ \|f^+\|_{L^2(Q_1)} + \|s\|_{L^q(Q_1)} $ で制御され、定数は $ \lambda, \Lambda, d_1, d_2, K, \alpha, q $ のみに依存する。
• $ d_1 = d_2 = d $、$ b \in C^1 $、非退化性条件 (1.4) が $ b \in C^1 $ かつ $ Db $ がモジュラスの連続性 $ o_1 $ をもつもとで、弱解に対してHölder連続性が確立される。
• 解は $ \|f\|_{C^\beta(Q_{\text{int}})} \leq C(\|f\|_{L^2(Q_1)} + \|s\|_{L^q(Q_1)}) $ を満たし、$ q > (1+2d)^2 $、$ \beta \in (0,1) $、定数 $ C $ は $ \lambda, \Lambda, d, K, q, o_1 $ に依存する。
• より小さいシリンダにおける解の振動は幾何的減少する：$ \text{osc}_{\mathcal{C}_\omega} \tilde{f} \leq (1-\theta_0)\text{osc}_{\mathcal{C}_1} \tilde{f} + C\|s\|_{L^q} + \text{osc}_{B_1 \times B_1} f(0,\cdot,\cdot) $ であり、これによりHölder連続性が導かれる。
• 定量的Hölder推定が得られる：$ \text{osc}_{B_{cr^3}(z_0)} f \lesssim r^{3\beta_0}(\|f\|_{L^2} + \|s\|_{L^q} + \|f(0,\cdot,\cdot)\|_{C^{\alpha_0}}) $、ここで $ \beta_0 = \frac{1}{3}\min(\frac{\alpha_0}{2}, \beta_1) $。