[論文レビュー] Velocity Distributions in Homogeneously Cooling and Heated Granular Fluids

Twan van Noije, M. H. Ernst|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 1998

Granular flow and fluidized beds参考文献 3被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、非弾性粒状流体の速度分布をEnskog-Boltzmann方程式を用いて導出し、均一冷却状態および一様加熱定常状態の両方において非ガウス的挙動を定量化するための四次積率に注目する。冷却状態ではガウス性からのずれは小さいが、加熱系では高エネルギー尾部が $\exp(-A c^{3/2})$ のようにスケーリングされ、$A \sim 1/\sqrt{\epsilon}$ となることが示され、ここで $\epsilon$ は非弾性度を表す。

ABSTRACT

We study the single particle velocity distribution for a granular fluid of inelastic hard spheres or disks, using the Enskog-Boltzmann equation, both for the homogeneous cooling of a freely evolving system and for the stationary state of a uniformly heated system, and explicitly calculate the fourth cumulant of the distribution. For the undriven case, our result agrees well with computer simulations of Brey et al. \cite{brey}. Corrections due to non-Gaussian behavior on cooling rate and stationary temperature are found to be small at all inelasticities. The velocity distribution in the uniformly heated steady state exhibits a high energy tail $\sim \exp(-A c^{3/2})$, where $c$ is the velocity scaled by the thermal velocity and $A\sim 1/\sqrt{\eps}$ with $\eps$ the inelasticity.

研究の動機と目的

• 非弾性衝突による粒状流体の非ガウス的分布を理解し、一般的なマクスウェル分布の仮定に挑戦すること。
• 自由冷却および一様加熱粒状系の両方における速度分布の四次積率を計算すること。
• 非ガウス的挙動が非弾性粒状ガスの冷却速度および定常温度に与える影響を評価すること。
• 非摂動的アプローチを用いて一様加熱定常状態における速度分布の高エネルギー尾部を導出すること。
• 過去の四次モーメント計算における誤りを是正し、粒状ガスのモーメントベース解析の整合的枠組みを提供すること。

提案手法

• $d$ 次元における非弾性硬い球体またはディスクのEnskog-Boltzmann方程式を用いて、単粒子速度分布をモデル化する。
• 冷却状態では、分布が時間的に減少する温度 $T(t)$ のみに依存するスケーリングアンザッツを適用する。
• Sonine多項式への展開を用いてモーメントを計算し、特に四次積率 $a_2$ に注目する。
• 重心および相対速度座標への変換を行い、角積分 $\beta_n$ を評価することで、モーメント $\mu_p$ の方程式を導出する。
• $c_{12}$ および $C$ 速度を含む積分を計算するために、ガウス重み付き平均 $\langle \cdot \rangle_0$ を用いる。
• モーメント階層方程式にモーメントの表現を代入することで、冷却および加熱両状態における $a_2$ を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四次積率で定量化される非ガウス的挙動は、自由に進化する粒状流体の冷却速度にどのように影響するか？
• RQ2 一様加熱粒状流体における速度分布の高エネルギー尾部の形は何か？
• RQ3 非ガウス的性質に起因する補正は、非弾性粒状系の定常温度および冷却速度にどのように影響するか？
• RQ4 高エネルギー尾部は非弾性度パラメータ $\epsilon = 1 - \alpha^2$ にどのように依存するか？
• RQ5 $\mathcal{O}(\epsilon)$ 範囲における摂動的結果と比較して、四次積率に対する非摂動的アプローチはどのように異なるか？

主な発見

• 均一冷却状態における四次積率 $a_2$ は、GoldshteinとShapiroによる以前の研究における代数的誤りを是正する非摂動的手法により補正された。
• 非ガウス的挙動に起因する冷却速度および定常温度への補正は、すべての非弾性度において小さいことが判明した。
• 一様加熱定常状態では、速度分布が高エネルギー尾部を $\exp(-A c^{3/2})$ のようにスケーリングし、$A \sim 1/\sqrt{\epsilon}$ となることが示された。ここで $\epsilon$ は非弾性度を表す。
• 尾部減衰係数 $A$ は非弾性度の平方根に反比例するため、復元係数が低いほどガウス性からのずれが顕著になる。
• 加熱状態における四次積率は、$\beta_3$、$\langle c_{12}^3 \rangle_0$、および次元および $\alpha$ に依存する $T_1$、$T_2$ 項を含む閉じた方程式から導出された。
• 冷却速度に対する $\mathcal{O}(\epsilon)$ 補正の結果は、SelaとGoldhirschによる摂動的計算とよく一致しており、非摂動的アプローチの妥当性が裏付けられた。