[論文レビュー] Velocity of sound in the relic photon sea

Miroslav Pardy|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Underwater Acoustics Research参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、熱力学的原則とエネルギーと質量のアインシュタイン関係を用いて、余剰光子ガス（宇宙背景放射）における音速を導出する。プランクの黒体放射法則をn次元空間に一般化し、余剰光子海における音波伝播が可能であることを示し、3次元では音速が $ v_s = \frac{c}{\sqrt{3}} $ となる。これにより、超相対論的宇宙線粒子がマッハ錐を形成することが可能となる。

ABSTRACT

We determine the velocity of sound in the blackbody gas of photons and in the gas of relic photons. Derivation is based on the thermodynamic theory of the photon gas and the Einstein relation between energy and mass. The spectral form for the n-dimensional blackbody is derived. The 1D, 2D and 3D blackbody radiation is specified. It is mentioned the possibility of creation of the Mach cone in case that the high energy cosmical particles moves with the speed greater than the velocity of sound in cosmical relic photon sea. Key words: Sound, elasticity, thermodynamics, blackbody, relic photons, Mach's cone.

研究の動機と目的

• 余剰光子海（光子の黒体ガスとしてモデル化されたもの）における音速を特定すること。
• プランクの黒体放射法則を1次元、2次元、3次元を含むn次元空間に一般化すること。
• 宇宙的余剰光子背景における音波およびマッハ錐の物理的可塑性を検討すること。
• 断熱過程を用いた光子ガスにおける弾性波伝播の熱力学的枠組みを確立すること。
• 理論的音速が高エネルギー宇宙線相互作用などの観測可能な天体物理学的現象とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• プランクのエントロピー-エネルギー仮説に由来する熱力学的関係式 $ \frac{d^2S}{dU^2} = -\frac{k}{U(\varepsilon + U)} $ を用いて、光子ガスの挙動をモデル化する。
• エネルギーと質量のアインシュタイン関係を適用し、内部エネルギー $ U $ と温度 $ T $ を関連させ、プランク分布を導出する。
• ガンマ関数とゼータ関数を用いて、n次元黒体放射のスペクトルエネルギー密度 $ P_n(\omega) $ を導出する。
• 周波数にわたるスペクトルエネルギー密度の積分により、全内部エネルギー $ u_n $ を得る。3次元では $ u_n \propto T^4 $ となる。
• 光子ガスに断熱音速の公式 $ v_s = \sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_s} $ を適用し、圧力 $ P = \frac{1}{3}u $ およびエネルギー密度 $ \rho = u $ を用いる。
• 定数 $ a = \frac{\pi^2 k^4}{15 \hbar^3 c^3} $ を用い、$ u = aT^4 $ の関係から3次元における音速を $ v_s = \frac{c}{\sqrt{3}} $ として計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的光子ガス（例：宇宙背景放射）における音速は何か？
• RQ2 光子-光子相互作用により、余剰光子海に弾性音波が伝播可能か？
• RQ3 余剰光子ガスにおける音速は次元（1次元、2次元、3次元）および熱力学的パラメータにどのように依存するか？
• RQ4 高エネルギー宇宙線粒子が余剰光子海における音速を超えて移動する場合、宇宙空間にマッハ錐が形成される条件は何か？
• RQ5 量子補正および光子-光子散乱断面積が、古典的音速導出の有効性にどのように影響するか？

主な発見

• 3次元の余剰光子ガスにおける音速は $ v_s = \frac{c}{\sqrt{3}} \approx 0.577c $ であり、熱力学的および相対論的ガス法則から導出されたものである。
• n次元黒体放射のスペクトルエネルギー密度は $ P_n(\omega) = \frac{\hbar \omega^n}{\pi^{n/2} c^n \Gamma(n/2)} \frac{1}{e^{\hbar\omega/kT} - 1} $ として導出され、1次元、2次元、3次元の明示的表現が得られた。
• 3次元における内部エネルギー密度は $ u_3 = \frac{\pi^2 k^4}{15 \hbar^3 c^3} T^4 $ であり、標準的なステファノ=ボルツマン則と一致する。
• ガンマ関数およびゼータ関数の恒等式を用いた導出により、3次元エネルギー密度式の妥当性が検証された。
• 本稿は、$ c/\sqrt{3} $ を超える速度で移動する高エネルギー宇宙線粒子が、余剰光子海にマッハ錐を生成する可能性を示唆している。
• 結果は、先験的近似においてパルトビのQED補正公式と整合しており、古典的極限を確認している。