[論文レビュー] Verification of Quantum Programs

Mingsheng Ying, Nengkun Yu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子マルコフ連鎖とシュレーディンガー＝ハイゼンベルク双対性を活用することで、確率的プログラム検証のSharir-Pnueli-Hart手法を量子プログラムへと拡張する。量子状態の性質を表すエルミート演算子を用いた性質の検証に関して完全性定理を確立し、有限次元状態空間においてはジョルダン分解を用いた簡略化された行列ベースの手法を導入することで、平均実行時間や長期間の挙動の計算を効率的に行える。

ABSTRACT

This paper develops verification methodology for quantum programs, and the contribution of the paper is two-fold: 1. Sharir, Pnueli and Hart [SIAM J. Comput. 13(1984)292-314] presented a general method for proving properties of probabilistic programs, in which a probabilistic program is modeled by a Markov chain and an assertion on the output distribution is extended into an invariant assertion on all intermediate distributions. Their method is essentially a probabilistic generalization of the classical Floyd inductive assertion method. In this paper, we consider quantum programs modeled by quantum Markov chains which are defined by super-operators. It is shown that the Sharir-Pnueli-Hart method can be elegantly generalized to quantum programs by exploiting the Schrödinger-Heisenberg duality between quantum states and observables. In particular, a completeness theorem for the Sharir-Pnueli-Hart verification method of quantum programs is established. 2. As indicated by the completeness theorem, the Sharir-Pnueli-Hart method is in principle effective for verifying all properties of quantum programs that can be expressed in terms of Hermitian operators (observables). But it is not feasible for many practical applications because of the complicated calculation involved in the verification. For the case of finite-dimensional state spaces, we find a method for verification of quantum programs much simpler than the Sharir-Pnueli-Hart method by employing the matrix representation of super-operators and Jordan decomposition of matrices. In particular, this method enables us to compute easily the average running time and even to analyze some interesting long-run behaviors of quantum programs in a finite-dimensional state space.

研究の動機と目的

• 量子マルコフ連鎖と超作用素に基づく、量子プログラムの形式的検証手法の構築を目的とする。
• 古典的Sharir-Pnueli-Hart手法（当初は確率的プログラムを対象としていた）を、量子状態と観測量の間の双対性を用いて量子的状況へ一般化することを目的とする。
• エルミート演算子（観測量）として表現可能なすべての性質を検証できることを保証する完全性結果を確立することを目的とする。
• 有限次元空間における行列表現とジョルダン分解を活用することで、一般手法の計算可能性を高めた代替手法を提供することを目的とする。
• 簡略化された計算技術を通じて、平均実行時間や長期間の挙動といった実用的分析を可能にすることを目的とする。

提案手法

• 量子プログラムを、密度演算子に作用する完全正則な超作用素によって定義される量子マルコフ連鎖としてモデル化する。
• シュレーディンガー＝ハイゼンベルク双対性を適用し、量子アサーション（観測量）をすべての中間量子状態における不変量へと拡張する。
• 有限次元ヒルベルト空間における検証を簡略化するために、超作用素の行列表現のジョルダン分解を用いる。
• 超作用素のトレース保存性および正定値性を活用し、作用素ノルムの境界を設定し、繰り返し状態変換の収束を保証する。
• 行列ノルムの不等式およびコーシー＝シュワルツ型推定を用いて、反復的な超作用素の適用による状態ベクトルの成長に対する境界を導出する。
• 特に、絶対値が1より大きい固有値を持つことにより、背理法を用いて収束性と完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的プログラムのSharir-Pnueli-Hart手法は、量子マルコフ連鎖を用いて量子プログラムへ一般化可能か？
• RQ2 一般化された検証手法は、エルミート演算子（観測量）として表現可能なすべての量子的性質を検証可能か？
• RQ3 有限次元量子系において、一般手法の計算可能性を高めた代替手法を開発可能か？
• RQ4 超作用素の行列表現が状態遷移の収束を保証する条件は何か？
• RQ5 提案手法を用いて、量子プログラムの平均実行時間および長期間の挙動をどのように分析できるか？

主な発見

• 量子状態と観測量の双対性を用いた拡張により、Sharir-Pnueli-Hart手法が量子プログラムへ成功裏に一般化され、不変量に基づく検証が可能となった。
• 完全性定理が証明された：この手法は、量子状態においてエルミート演算子（観測量）として表現可能なすべての性質を検証可能である。
• 有限次元状態空間では、超作用素の行列表現とジョルダン分解を用いることで、手法が著しく簡略化される。
• 簡略化された手法により、量子プログラムの平均実行時間の効率的計算が可能となった。
• 超作用素の固有値解析を通じて、定常状態への収束などの量子プログラムの長期間の挙動の分析が可能となった。
• 反復的な超作用素の適用による状態ベクトルのノルム成長に対して、$\|M^n|\alpha\| \leq 4\sqrt{d}\||\alpha\||$ の境界が導出され、固有値制約と収束性の証明に用いられた。