[論文レビュー] Verma Modules, Extremal Vectors, and Singular Vectors on the Non-Critical N=2 String Worldsheet

A. M. Semikhatov|ArXiv.org|Oct 13, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非臨界N=2ストリングの世界殻に実現されたアフィンsl(2|1)スーパー代数のヴェルマ加群における特異ベクトルを構成し、sl(2|1)特異ベクトルとN=2スーパー共形特異ベクトルの間で2:1の対応関係を確立する。ただし、r ≥ 1でラベル付けされた一連の例外的ケースを除く。これらの例外的ケースはN=2の類似物を持たない。この研究は極端なベクトルの構成とスペクトルフローをsl(2|1)に拡張し、特定の重み空間の点において多重度が2倍になる仕組みを明らかにする。

ABSTRACT

We formulate the general construction for singular vectors in Verma modules of the affine sl(2|1) superalgebra. We then construct sl(2|1) representations out of the fields of the non-critical N=2 string. This allows us to extend naturally to sl(2|1) several crucial properties of the N=2 superconformal algebra, first of all the construction of extremal states (an analogue of different pictures for non-free fermions) and the spectral flow transform (which then affects the Liouville sector). We further evaluate the affine sl(2|1) singular vectors in the realization of sl(2|1) provided by the N=2 string. We establish that, with a notable exception, the respective singular vectors are in a 2:1 correspondence, namely two different sl(2|1) singular vectors evaluate as an N=2 superconformal singular vector (however, those singular vectors that are labelled by a pair of positive integers get these integers transposed under the reduction). We also analyse the `exceptional' cases, which amount to a series of sl(2|1) singular vectors, labelled by r>=1, which do not have an N=2 counterpart, and discuss the mechanism by which the multiplicity of singular vectors becomes equal to two at certain points in the weight spaces of both algebras.

研究の動機と目的

• アフィンsl(2|1)スーパー代数のヴェルマ加群における特異ベクトルの一般的構成法を提示すること。
• 非臨界N=2ストリング理論の場の内容からsl(2|1)表現を実現すること。
• N=2スーパー共形代数の主要な性質である極端な状態（異なるフェルミオン的図像に類似）とスペクトルフローをsl(2|1)代数に拡張すること。
• N=2ストリング実現におけるアフィンsl(2|1)特異ベクトルを評価し、それらがN=2特異ベクトルとどのように対応するかを特定すること。
• N=2の類似物を持たないsl(2|1)特異ベクトルの例外的ケースを分析すること。

提案手法

• 一般的な代数的技法を用いて、アフィンsl(2|1)スーパー代数のヴェルマ加群における特異ベクトルを構成する。
• 非臨界N=2ストリングの世界殻の場の内容を通じて、sl(2|1)表現を実現する。
• 極端な状態（異なるフェルミオン的図像に類似）の概念をsl(2|1)表現へ拡張する。
• スレートフロー変換をsl(2|1)代数に適用し、リウヴィル領域における変換を誘発する。
• sl(2|1)特異ベクトルをN=2スーパー共形特異ベクトルに写像し、その対応構造を分析する。
• N=2の類似物を持たない、r ≥ 1でラベル付けされた例外的特異ベクトルを特定し、重み空間における多重度におけるその役割を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンsl(2|1)スーパー代数のヴェルマ加群における特異ベクトルを体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 非臨界N=2ストリングの世界殻上でのsl(2|1)表現は、N=2スーパー共形代数の性質（極端な状態やスペクトルフロー）をどの程度継承するか？
• RQ3 N=2ストリング実現において、sl(2|1)特異ベクトルとN=2スーパー共形特異ベクトルの正確な対応関係は何か？
• RQ4 なぜ両代数の重み空間の特定の点において特異ベクトルの多重度が2になるのか？
• RQ5 N=2の類似物を持たない、r ≥ 1でラベル付けされたsl(2|1)特異ベクトルの系列の性質と意義は何か？

主な発見

• 本稿は、sl(2|1)特異ベクトルとN=2スーパー共形特異ベクトルの間で2:1の対応関係を確立し、2つの異なるsl(2|1)特異ベクトルが同じN=2特異ベクトルに写像されることを示している。
• 正の整数のペアでラベル付けされた特異ベクトルは、N=2代数への還元において入れ替えられる（対称性を示す）。
• r ≥ 1でラベル付けされた一連の例外的sl(2|1)特異ベクトルは、N=2スーパー共形代数に類似物を持たない。
• 両代数の重み空間の特定の点において、特異ベクトルの多重度が2に等しくなるのは、対応構造とスペクトルフロー作用のおかげである。
• 極端なベクトルの構成とスペクトルフローの概念が、N=2スーパー共形代数からN=2ストリング実現を通じてsl(2|1)代数へ自然に拡張される。
• 分析により、例外的ケースは、特定の重み空間の点においてsl(2|1)からN=2特異ベクトルへの写像が可逆でないため生じることが明らかになった。