[論文レビュー] Veronese quotient models of $\bar{M}_{0,n}$ and conformal blocks

Angela Gibney, David Jensen+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\overline{M}_{0,n}$ のヴェロネーゼ商コンactificationと conformal field theory からの除数の間に深い接点を確立し、特定のヴェロネーゼ商写像が conformal block 除数に引き戻されることを示している。主な貢献は、これらの除数と $F$-曲線の交差数を求める公式であり、これにより $\overline{M}_{0,n}$ のnef錐の体系的記述が可能となり、特定のヴェロネーゼ商の新しいモジュラー解釈が conformal blocks を通じて得られる。

ABSTRACT

The moduli space $\bar{M}_{0,n}$ of Deligne-Mumford stable n-pointed rational curves admits morphisms to spaces recently constructed by Giansiracusa, Jensen, and Moon that we call Veronese quotients. We study divisors on $\bar{M}_{0,n}$ associated to these maps and show that these divisors arise as first Chern classes of vector bundles of conformal blocks.

研究の動機と目的

• ヴェロネーゼ商モデル $\overline{M}_{0,n}$ と conformal field theory からの除数との間の対応を確立すること。
• 特定のヴェロネーゼ商 $V^{g+1-\ell}_{\frac{\ell-1}{\ell+1},(\frac{1}{\ell+1})^{2g+2}}$ の新しいモジュラー解釈を提供すること。
• すべてのヴェロネーゼ商除数 $\mathcal{D}_{\gamma,A}$ が $\overline{M}_{0,n}$ 上の $F$-曲線と交差する数を計算し、それらの類が Néron-Severi 群にどのように記述されるかを明らかにすること。
• 非自明な型 A の conformal block 除数が、これらのヴェロネーゼ商からの十分に大きな線分束の引き戻しとして得られることを示すこと。
• 型 A の正の重みを持つ conformal block 除数が $\operatorname{M}_{0,n}$ 上の点を分離するという予想を提示し、関連する写像が組合せ論的に記述可能であることを示唆すること。

提案手法

• 安定曲線および重み付き点付き有理曲線の幾何を用いて、ヴェロネーゼ商除数 $\mathcal{D}_{\gamma,A}$ と $F$-曲線の交差数に関する一般公式を導出すること。
• ヴェロネーゼ商のモジュラー解釈を用い、$\overline{M}_{0,n}$ からの双有理写像に沿った引き戻しにより、自然な極化と conformal block 除数を関連付けること。
• Geometric Invariant Theory (GIT) の結果を応用して、ヴェロネーゼ商 $V^d_{\gamma,A}$ の構造と $\overline{M}_{0,n}$ からの写像の性質を分析すること。
• ベクトル束の conformal blocks が $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上で生成され、半正則であることを利用して、それらの第一チャーン類が $\overline{M}_{0,n}$ 上でどのように振る舞うかを調べること。
• 曲線の接合における conformal blocks の因数分解性質を用い、$\overline{M}_{0,n}$ の境界ストラトゥムにおける除数の振る舞いを分析すること。
• 具体的な例を構成し、ヴェロネーゼ商と conformal block 除数の間の対応関係を検証する。特に $\mathbb{D}(\mathfrak{sl}_2,\ell,\omega_1^{2g+2})$ の場合についても検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェロネーゼ商モデル $V^{g+1-\ell}_{\frac{\ell-1}{\ell+1},(\frac{1}{\ell+1})^{2g+2}}$ は、重み付き点と次数制約を持つ安定曲線の観点から、新しいモジュラー解釈をもつのか？
• RQ2 すべてのヴェロネーゼ商除数 $\mathcal{D}_{\gamma,A}$ がヴェロネーゼ商からの十分に大きなラインバンドルの引き戻しとして表され、$F$-曲線との交差数がどのように計算されるのか？
• RQ3 ヴェロネーゼ商から生じる除数と conformal field theory から生じる除数の間には、特に型 A リー代数に関して一般に対応関係が存在するのか？
• RQ4 正の重みを持つ非自明な型 A の conformal block 除数が $\operatorname{M}_{0,n}$ 上の点を分離するのか。これにより、関連する写像が内部で同型写像であることが保証されるのか？
• RQ5 忘れられた成分や境界ストラトゥム上の点といった組合せ論的データによって、$\overline{M}_{0,n}$ の双有理幾何が完全に記述可能なのか。これは、conformal block 写像の振る舞いが示唆するものである。

主な発見

• 本稿は、ヴェロネーゼ商除数 $\mathcal{D}_{\gamma,A}$ と $F$-曲線の交差数を求める一般公式（定理 3.1）を提供しており、これにより $\overline{M}_{0,n}$ の Néron-Severi 群における類が完全に決定される。
• 非自明な conformal block 除数 $\mathbb{D}(\mathfrak{sl}_2,\ell,\omega_1^{2g+2})$ が、ヴェロネーゼ商 $V^{g+1-\ell}_{\frac{\ell-1}{\ell+1},(\frac{1}{\ell+1})^{2g+2}}$ からの十分に大きなクラスの引き戻しとして得られることを示し、GIT と conformal field theory の間の直接的な接続を確立した。
• ヴェロネーゼ商 $V^{g+1-\ell}_{\frac{\ell-1}{\ell+1},(\frac{1}{\ell+1})^{2g+2}}$ に対して、次数 $g+1-\ell$ で特定の重みを持つ重み付き点付き有理曲線のモジュライ空間としての新しいモジュラー解釈を与えた。
• 除数 $\mathbb{D}(\mathfrak{sl}_2,4,3\omega_1^8)$ は $F$-曲線 $F(2,2,2,2)$ と交差数 0 を持ち、それ以外のすべての $F$-曲線と正の交差数を持つ。この除数に関連する双有理モデルは、$\operatorname{M}_{0,8}$ のコンツェビッチ＝ボギー コンパクト化として特定された。
• 本稿は、型 A の正の重みを持つ conformal block 除数が $\operatorname{M}_{0,n}$ 上の点を分離するという予想を提示し、関連する写像が境界ストラトゥムにおける成分や点の接続のみを無視することを示唆しており、したがって組合せ論的に記述可能であると結論づけた。
• 結果から、$\overline{M}_{0,n}$ のnef錐は $F$-曲線との交差データによって記述可能であり、GIT 錐の隣接するチャネルが、nef 錐の隣接する面に対応することが示唆された。