[論文レビュー] Vertex algebras and Teichmüller modular forms

Giulio Codogni|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、安定曲線のモジュライ空間上の相関関数と共真空 bundle を用いて、ホロモーフィック頂点代数からテイヒミュラー保型形式（分割関数）を構成する。この形式が写像類群の作用の下で保型形式として変換することを証明し、特に genus 1 の場合に朱の保型性結果を回復することを示す。主な貢献はシュッター座標における genus 展開であり、シュッター問題や頂点代数の分類への応用が可能となり、特に有効コーンの勾配条件の下で、6 genus までにわたるモジュラリティの下で、月光頂点代数の一意性が得られる。

ABSTRACT

We associate to any holomorphic vertex algebra a collection of Teichmüller modular forms, one in each genus. In genus one we obtain the character of the vertex algebra, and we thus reprove Zhu's modularity result. In higher genus, we prove that these forms have an expansion in terms of the correlation functions of the vertex algebra. We propose applications to the Schottky problem, to the study of the slope of the effective cone of the moduli space of curves, and to the classification of holomorphic vertex algebras. In particular, we prove a uniqueness result for high genera partition functions of the moonshine vertex algebra.

研究の動機と目的

• 安定曲線のモジュライ空間上に、任意のホロモーフィック頂点代数に対して、自然なラインバンドル切断（分割関数）を関連付けること。
• これらの分割関数が写像類群作用の下で保型形式として変換することを証明し、朱の genus 1 の結果を一般化すること。
• 相関関数を用いてシュッター座標における分割関数の genus 展開を開発すること。
• この構成をシュッター問題およびホロモーフィック頂点代数の分類、特に月光頂点代数に応用すること。
• 分割関数の等値が頂点代数の同型にどのように関連するかを示す予想を提示し、分類の有効版を提案すること。

提案手法

• 頂点代数と有理型微分形式のテンソル積から、頂点代数の自己準同型への写像を構成し、その像イデアルによる商として共真空を定義する。
• 共真空における真空ベクトルの像が、モジュライ空間 M̄g,n 上の Hodge ラインバンドル λ^⊗(c/2) の非自明な切断を与えることを示す。
• 境界除集合 δ₀ の近傍におけるシュッター座標を用い、分割関数を q₁,…,qg を変数とするべき級数として展開し、係数を相関関数で与える。
• theta 級数の性質と保型不変性を用いて、展開が写像類群の下でテイヒミュラー保型形式（重さ c/2）として変換することを証明する。
• 特に月光頂点代数などの特定の頂点代数に対して、分割関数を比較し、M̄g の有効コーンにおける勾配の境界を用いることで、この構成を応用する。
• 展開と保型性の性質を用いて、シーゲル保型形式が曲線の系列上に消えるかどうかをテストすることで、シュッター問題を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のホロモーフィック頂点代数に対して、曲線のモジュライ空間上の幾何的構成を用いて、自然な保型形式を関連付けることができるか？
• RQ2 頂点代数の分割関数は、曲線の退化の下でどのように振る舞い、局所座標系において展開可能か？
• RQ3 分割関数がホロモーフィック頂点代数の同型類をどの程度まで決定するか？
• RQ4 この構成を用いて、非同型の頂点代数、特にモジュラリティモジュールの文脈で区別可能か？
• RQ5 M̄g の有効コーンにどのような条件を課すと、低 genus における分割関数の等値が頂点代数の同型を示すことになるか？

主な発見

• ホロモーフィック頂点代数の分割関数は、M̄g,n 上の λ^⊗(c/2) の非自明な切断を定め、クラッチングおよび射影のモルフィズムを介して保存される。
• genus 1 の場合、分割関数は朱の保型性結果を回復する：特徴関数は重さ c/2 の保型形式である。
• 分割関数はシュッター座標における genus 展開を有する：1g(V) = ∑χk q₁^{k₁}⋯qg^{kg}、ここで χk は頂点演算子の相関関数である。
• 写像類群の下で、展開は重さ c/2 のテイヒミュラー保型形式として変換するが、普遍的な正則因子を除いて成り立つ。
• 中心的荷重 24 で V♮₁=0 を満たす月光頂点代数 V♮ に対して、6 genus までにわたる任意の他の同様の頂点代数と分割関数が一致する。
• すべての g ≤ g₀ に対して、M̄g の有効コーンの勾配が 6 を超えるならば、g₀ までの genus における分割関数の等値は、頂点代数の同型を示す。