[論文レビュー] Vertex Algebroids II

Paul Bressler|ArXiv.org|Apr 8, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、de Rham代数上の自然な頂点代数的構造を用いて、exact vertex ${\cal O}_X$-代数的バンドルの自明性の障害類を、$\Omega^1_X$ の Atiyah代数とトレースペアリングを備えた Pontryagin類と関連付ける。$H^2(X; \Omega^2_X \to \Omega^3_{\text{cl},X})$ における exact vertex 代数的バンドルの類は $2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$ に等しく、[GMS] の結果を Courant 代数的バンドルの拡張と $\Omega^\bullet_X$ 上の頂点代数的構造を用いて再考・精緻化する。主な革新は、de Rham代数上に自然に定義される頂点代数的バンドルを用いて、対応する Courant 拡張を通じて exact vertex 代数的バンドルを分類することにある。

ABSTRACT

In this note we determine the obstruction to triviality of the stack of exact vertex algebroids.

研究の動機と目的

• exact vertex ${\cal O}_X$-代数的バンドルのスタック $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ が $H^2(X; \Omega^2_X \to \Omega^3_{\text{cl},X})$ に属する障害類を特定すること。
• この類を、トレースペアリングを備えた Atiyah代数 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ の Pontryagin類に関連付けること。
• $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ と、特定の対称ペアリングを備えた $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ の Courant 代数的バンドル拡張の torsor 間の反同値を確立すること。
• 不変対称ペアリングを備えた正則 Lie 代数的バンドルの Courant 拡張の分類を一般化し、その特徴類を計算すること。

提案手法

• de Rham代数 $\Omega^\bullet_X$ 上に、一意に定まる exact vertex $\Omega^\bullet_X$-代数的バンドル $\mathcal{U}$ を構成し、これにより Atiyah代数 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ の頂点拡張を誘導すること。
• $\mathcal{U}$ の次数 0 部分 $\mathcal{U}^{(0)}$ を用いて、$\underline{\operatorname{End}}_{{\cal O}_X}(\Omega^1_X)$ 上に、自己準同型の積のトレースの符号反転として与えられる対称ペアリングを備えた $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ の頂点拡張を実現すること。
• $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ と、トレースペアリングを備えた $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ の Courant 代数的バンドル拡張のスタック $\mathcal{CEXT}_{{\cal O}_X}(\mathcal{A}_{\Omega^1_X})_{\langle\ ,\ \rangle}$ 間の反同値を確立すること。
• 正則 Lie 代数的バンドルの Courant 拡張の一般分類を適用し、$\mathcal{CEXT}_{{\cal O}_X}(\mathcal{A}_{\Omega^1_X})_{\langle\ ,\ \rangle}$ の特徴類を Pontryagin類 $\Pi(\mathcal{A}_{\Omega^1_X}, \langle\ ,\ \rangle)$ として計算すること。
• $\Pi(\mathcal{A}_{\Omega^1_X}, \langle\ ,\ \rangle) = -2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$ であるという事実を用いて、$\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ の類が $2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$ に等しいことを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタック $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ が $H^2(X; \Omega^2_X \to \Omega^3_{\text{cl},X})$ に属する exact vertex ${\cal O}_X$-代数的バンドルの障害類は何か？
• RQ2 exact vertex 代数的バンドルのスタックは、トレースペアリングを備えた Atiyah代数 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ の Courant 代数的バンドル拡張のスタックとどのように関係するか？
• RQ3 不変対称ペアリングを備えた正則 Lie 代数的バンドルの Courant 拡張のスタックの特徴類は何か？
• RQ4 ペair $(\mathcal{A}_{\Omega^1_X}, \langle\ ,\ \rangle)$ の Pontryagin類は、対応する Courant 拡張スタックの特徴類とどのように関係するか？

主な発見

• $H^2(X; \Omega^2_X \to \Omega^3_{\text{cl},X})$ における exact vertex ${\cal O}_X$-代数的バンドルのスタック $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ の類は、$2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$ に等しい。
• $\mathcal{EVA}_{{\cal O}_X}$ は、$\mathcal{ECA}_{{\cal O}_X}$-torsorとして、$\mathcal{CEXT}_{{\cal O}_X}(\mathcal{A}_{\Omega^1_X})_{\langle\ ,\ \rangle}$ に反同値である。
• $\mathcal{CEXT}_{{\cal O}_X}(\mathcal{A}_{\Omega^1_X})_{\langle\ ,\ \rangle}$ の特徴類は Pontryagin類 $\Pi(\mathcal{A}_{\Omega^1_X}, \langle\ ,\ \rangle)$ に等しく、これは $-2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$ に等しい。
• トレースペアリングを備えた Atiyah代数 $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ の Pontryagin類は $-2\operatorname{ch}_2(\Omega^1_X)$ に等しく、これは $\Omega^1_X$ のチャーン類を用いて計算される。
• 一意に定まる頂点 $\Omega^\bullet_X$-代数的バンドル $\mathcal{U}$ の構成により、所望の対称ペアリングを備えた $\mathcal{A}_{\Omega^1_X}$ の頂点拡張を誘導する標準的モデルが得られる。