[論文レビュー] Vertex colorings of simplicial complexes

Natalia Dobrinskaya, Jesper M. Møller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2010

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$(P,s)$-彩色をDavis–Januszkiewicz空間上のベクトル bundle の分割およびStanley–Reisner環における因数分解に結びつけることで、単体的複体の頂点彩色に関するホモトピー論的および代数的枠組みを確立する。主な結果は、$\mathrm{SR}(K;R)$ 内で $\prod_{v\in V}(1+v) = \prod_{p\in P} c_p$ の等式が成り立つことによる $(P,s)$-彩色可能性の特徴付けであり、ここで各 $c_p$ は次数が $2s$ 未満の対称多項式である。この結果により、組合せ論、代数的トポロジー、および可換代数が統合される。

ABSTRACT

We define an (r,s)-coloring of an abstract simplicial complex to be a coloring using r colors of the vertices so that in any simplex at most s vertices have the same color. We translate the problem of finding an (r,s)-coloring of a given simplex to a topological problem and to a ring theoretic problem. The topological version involves vector bundles over Davis--Januszkiewicz spaces and the algebraic one involves factorizations in Stanley-Reisner rings.

研究の動機と目的

• Stanley–Reisner環およびDavis–Januszkiewicz空間を用いて、組合せ論的頂点彩色問題を代数的および位相的不変量に翻訳すること。
• $\mathrm{SR}(K;R}$ 内での全チャーン類の因数分解を用いた、単体的複体 $K$ の $(P,s)$-彩色可能性の特徴付け。
• 組合せ論的彩色可能性、$\mathrm{DJ}(K)$ 上のベクトル bundle の分割、および $\mathrm{map}(P,\mathrm{BU}(s))$ へのホモトピー類の間の同値関係の確立。
• 球面、多面体、非構成可能な三角形分割を含む、さまざまな単体的複体の $s$-彩色数 $\operatorname{chr}^s(K)$ の計算。
• $s$-彩色と $K$ の位相的構造の相関関係の解明、特にネイバーおよび対称的複体における関係性の解明。

提案手法

• $(P,s)$-彩色を、同じ色を持つ頂点が $s$ 個を超えないような頂点写像 $f: V \to P$ として定義する。
• 単体的複体 $K$ の組合せ的構造を符号化するため、Stanley–Reisner環 $\mathrm{SR}(K;R)$ を用い、各色 $p \in P$ に対して $c_{\leq s}(f^{-1}p)$ を定義する。
• 単体的複体 $K$ が $(P,s)$-彩色可能であることと、$\mathrm{SR}(K;R}$ 内で $\prod_{v\in V}(1+v) = \prod_{p\in P} c_{\leq s}(f^{-1}p)$ が成り立つことが同値であることを確立する。
• Davis–Januszkiewicz空間 $\mathrm{DJ}(K)$ 及びその写像 $\lambda_K: \mathrm{DJ}(K) \to \mathrm{map}(V,\mathrm{BU}(1))$ を用いて、コホモロジーにおける全チャーン類を解釈する。
• $(P,s)$-彩色可能性が、$\mathrm{DJ}(K)$ 上に存在する $|P|$ 個の複素ベクトル bundle $\xi_p$ が存在し、$\lambda_K$ と $\bigoplus_p \xi_p$ が安定同型であることに同値であることを証明する。
• ホモトピー論的基準を用いて、このような彩色が存在するための必要十分条件が、関係図がホモトピーの意味で可換になるような写像 $\mathrm{DJ}(K) \to \mathrm{map}(P,\mathrm{BU}(s))$ の存在であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限単体的複体 $K$ がいつ $(P,s)$-彩色可能であり、その特徴づけはどのように行われるか？
• RQ2 $K$ の $s$-彩色とDavis–Januszkiewicz空間 $\mathrm{DJ}(K)$ 上のベクトル bundle の分割との関係は何か？
• RQ3 $\mathrm{SR}(K;R}$ 内での全チャーン類 $\prod_{v\in V}(1+v)$ の因数分解は、$K$ の組合せ的構造をどのように反映するか？
• RQ4 球面や循環的多面体などのさまざまなクラスの単体的複体について、$s$-彩色数 $\operatorname{chr}^s(K)$ の値は何か？
• RQ5 非構成可能または高次対称性を示す三角形分割について、$s$-彩色数は有界であるか、計算可能か？

主な発見

• 単体的複体 $K$ が $(P,s)$-彩色可能であることと、$\mathrm{SR}(K;R}$ 内で $\prod_{v\in V}(1+v) = \prod_{p\in P} c_{\leq s}(f^{-1}p)$ が成り立つことが同値であり、ここで $c_{\leq s}(f^{-1}p)$ は色 $p$ の逆像に属する変数の最初の $s$ 個の初等対称多項式の和である。
• $s=1$ の場合、この結果は古典的な彩色問題を回復し、ベクトル bundle の分割との同値性は既に知られていたが、本稿では任意の $s$ に一般化されている。
• $\operatorname{chr}^s(\partial D[(2n)_{+}]) = 3$（$n \geq 1$）、$\operatorname{chr}^s(\partial D[(2n+1)_{+}]) = 3$（$n > 1$）、$\operatorname{chr}^1(\partial D[3_{+}]) = 4$。
• 循環的多面体 $\mathrm{CP}(m,2n)$ に対しては、$m > 2n$ が偶数のとき $\operatorname{chr}^n(\mathrm{CP}(m,2n)) = 2$、奇数のとき $3$。
• $\mathrm{CP}(m,2n+1)$ に対しては、$n > 1$ かつ $m > 2n+1$ のとき $\operatorname{chr}^n(\mathrm{CP}(m,2n+1)) = 3$、$n=1$ かつ $m > 3$ のとき $4$。
• ポincareのホモロジー $3$-球面の $2$-フラッグ三角形分割 BLP に対しては $\operatorname{chr}^2(\mathrm{BLP}) = 4$、非構成可能な $3$-球面 $S^3_{17,74}$ に対しては $\operatorname{chr}^2 = 3$。