[論文レビュー] Vertex Decomposition of Steiner Wiener Index and Steiner Betweenness Centrality

Matjaž Kovše|arXiv (Cornell University)|May 1, 2016

Graph theory and applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、頂点が$k$-スタイナー木において非端点として現れる頻度を測る、新しい$k$-スタイナー中間性中心性を用いて、スティーナー$k$-ウィーナー指数の頂点分解枠組みを導入する。主な貢献は、ŠkrekovskiとGutmanのウィーナー指数の頂点分解を高次元のスタイナー構造へ一般化し、木およびモジュラーグラフにおいて頂点寄与による正確なスティーナー$k$-ウィーナー指数の計算を可能にすることである。

ABSTRACT

A formula based on a vertex contributions of the Steiner $k$-Wiener index is induced by a newly introduced $k$-Steiner betweenness centrality, which measures the number of $k$-Steiner trees that include a particular vertex as a non-terminal vertex. This generalizes Škrekovski and Gutman's Vertex version of the Wiener Theorem and a result of Gago on the average betweenness centrality and the average distance in general graphs.

研究の動機と目的

• $k$-スタイナー中間性中心性を用いて、ウィーナー指数の頂点分解を高次元のスタイナー構造へ一般化すること。
• 木における頂点寄与に基づくスティーナー$k$-ウィーナー指数の公式を確立すること。
• フレームワークを一般グラフおよびモジュラーグラフへ拡張し、平均$k$-スタイナー中間性中心性の正確な計算を可能にすること。
• モジュラーグラフにおける平均3-スタイナー中間性中心性の閉形式表現を導出すること。
• 一般連結グラフにおける総スタイナー中間性中心性および総スタイナー・ウィーナー指数を定義・分析すること。

提案手法

• 頂点$v$の$k$-スタイナー中間性中心性$B_k(v)$を、$V(G) \setminus \{v\}$のすべての$k$-部分集合$S$について、$S$の$k$-スタイナー木のうち$v$が非端点として含まれる割合の和として定義する。
• 木における頂点分解公式を確立：$SW_k(G) = \sum_{v \in V(G)} B_k(v) + (k-1)\binom{n}{k}$。
• 一般グラフにおいて、スティーナー$k$-ウィーナー指数が$SW_k(G) = \sum_{v \in V(G)} B_k(v) + (k-1)\binom{n}{k}$として分解されることを証明し、先行するウィーナー指数分解結果を拡張する。
• モジュラーグラフの構造を用いて閉形式表現を導出：$SW_3(G) = \frac{n-2}{2} W(G)$。
• すべての$k \geq 2$における$B_k(v)$の和として総スタイナー中間性中心性$B_S(v)$を定義し、総スタイナー・ウィーナー指数$SW(G) = \sum_{k=2}^n SW_k(G)$を定義する。
• 連結グラフにおいて、$SW(G) = \sum_{v \in V(G)} B_S(v) + 2^{n-1}(n-2) + 1$という恒等式を導出し、総スタイナー・ウィーナー指数と総中間性中心性の直接的な代数的関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された中間性中心性を用いて、スティーナー$k$-ウィーナー指数を頂点寄与にどのように分解できるか。
• RQ2 木において、スティーナー$k$-ウィーナー指数と$k$-スタイナー中間性中心性の正確な関係は何か。
• RQ3 スティーナー$k$-ウィーナー指数の頂点分解公式を一般連結グラフへ拡張できるか。
• RQ4 モジュラーグラフにおける平均3-スタイナー中間性中心性の閉形式表現は何か。
• RQ5 一般連結グラフにおいて、総スタイナー・ウィーナー指数と総スタイナー中間性中心性の関係は何か。

主な発見

• 木において、スティーナー$k$-ウィーナー指数は$SW_k(T) = \sum_{v \in V(T)} B_k(v) + (k-1)\binom{n}{k}$を満たし、頂点ごとの分解が可能である。
• モジュラーグラフにおいて、3-スタイナー・ウィーナー指数は正確に$SW_3(G) = \frac{n-2}{2} W(G)$であり、古典的ウィーナー指数と直接関連づけられる。
• モジュラーグラフにおける平均3-スタイナー中間性中心性は$\overline{B_3}(G) = \frac{1}{n}\left(\frac{n-2}{2}W(G) - 2\binom{n}{3}\right)$であり、多項式時間で計算可能である。
• $d$次元ハイパーキューブにおいて、平均3-スタイナー中間性中心性は$\overline{B_3}(Q_d) = (2^{d-1}-1)(d2^{d-2} - \frac{1}{3}(2^{d+1}-2))$であり、頂点推移性のためすべての頂点が同一の中心性を持つ。
• 総スタイナー・ウィーナー指数は$SW(G) = \sum_{v \in V(G)} B_S(v) + 2^{n-1}(n-2) + 1$を満たし、総スタイナー・ウィーナー指数と総スタイナー中間性中心性の直接的な代数的関係が確立される。
• 平均総スタイナー中間性中心性は$\overline{B_S}(G) = \frac{1}{n}\left((2^n - n - 1)\overline{SW}(G) - 2^{n-1}(n-2) - 1\right)$であり、平均スタイナー多様性から平均中心性を計算する公式を提供する。