[論文レビュー] Vertex-disjoint properly edge-colored cycles in edge-colored complete graphs

Ruonan Li, Hajo Broersma+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、k=2における辺彩色完全グラフにおける頂点非共有の適切に彩色されたサイクルに関する予想を確認し、最大単色次数Δ⁰⁰(G) ≤ n−5 ならば、Gは2つの頂点非共有の適切に彩色されたサイクルを含むことを証明する。この予想は、マルチパーティートーナメントにおける有向サイクルとの構造的関係を確立し、その関係を用いて、有向グラフにおける互いに素なサイクルに関するBermond-Thomasson予想に対する部分的解決を得る。

ABSTRACT

It is conjectured that every edge-colored complete graph $G$ on $n$ vertices satisfying $Δ^{mon}(G)\leq n-3k+1$ contains $k$ vertex-disjoint properly edge-colored cycles. We confirm this conjecture for $k=2$, prove several additional weaker results for general $k$, and we establish structural properties of possible minimum counterexamples to the conjecture. We also reveal a close relationship between properly edge-colored cycles in edge-colored complete graphs and directed cycles in multi-partite tournaments. Using this relationship and our results on edge-colored complete graphs, we obtain several partial solutions to a conjecture on disjoint cycles in directed graphs due to Bermond and Thomassen.

研究の動機と目的

• すべての辺彩色完全グラフGについて、Δ⁰⁰(G) ≤ n−3k+1 ならば、k個の頂点非共有の適切に彩色されたサイクルを含むという予想を確認すること。
• 特にk=2の場合にこの予想を証明し、Δ⁰⁰(G) ≤ n−5 が2つの頂点非共有の適切に彩色されたサイクルの存在を保証することを示すこと。
• 一般予想に対する最小反例が持つべき構造的性質を確立すること。
• 辺彩色完全グラフにおける適切に彩色されたサイクルとマルチパーティートーナメントにおける有向サイクルとの深い関係を明らかにすること。
• この関係を用いて、有向グラフにおける互いに素なサイクルに関するBermond-Thomasson予想に対する部分的解決を得ること。

提案手法

• 辺彩色完全グラフにおけるk個の頂点非共有の適切に彩色されたサイクルの存在が、関連するマルチパーティートーナメントにおけるk個の頂点非共有の有向サイクル（dicycle）の存在と同値であることを証明すること。
• 色次数と辺彩色ルールを用いて、与えられた辺彩色完全グラフGからマルチパーティートーナメントMTを構成すること。
• 構造的豊かさを保証するため、最小出次数条件δ⁺(MT) ≥ f(k)を用いること。
• 既知のマルチパーティートーナメントに関する結果（命題12）を適用し、特定の条件下でk個の互いに素な有向サイクルの存在を保証すること。
• 背理法と構造的分解（補題20を用いて）を用い、どのPCサイクルにも属さない頂点を分析し、頂点集合を適切に分割すること。
• 最小出次数を保ちつつ、禁止された長さの有向サイクルを避けるために、修正されたℓ部グラフMT′を定義することにより、既存の定理の適用を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての辺彩色完全グラフGについて、Δ⁰⁰(G) ≤ n−5 ならば、2つの頂点非共有の適切に彩色されたサイクルを含むか？
• RQ2 一般kサイクル予想に対する最小反例が満たすべき構造的性質は何か？
• RQ3 辺彩色完全グラフにおける適切に彩色されたサイクルとマルチパーティートーナメントにおける有向サイクルとの関係は何か？
• RQ4 辺彩色グラフと有向グラフとの間の関係を用いて、Bermond-Thomasson予想に対する進展を得られるか？
• RQ5 最小出次数f(k)を満たすマルチパーティートーナメントが、k個の互いに素な有向サイクルを含む条件は何か？

主な発見

• k=2の場合に予想が確認された：Δ⁰⁰(G) ≤ n−5 ならば、Gは2つの頂点非共有の適切に彩色されたサイクルを含む。
• 本稿は、一般予想に対する最小反例が単色エッジカットを含まず、かつどのPCサイクルにも属さない色次数がℓ以下の頂点を含むべきであることを証明した。
• 補題20を用いた頂点集合の構造的分割により、辺彩色グラフ問題を有向グラフ問題に翻訳可能となった。
• Gにおけるk個の互いに素な適切に彩色されたサイクルの存在は、導出されたマルチパーティートーナメントMTにおけるk個の互いに素な有向サイクルの存在と同値である。
• この構成により、もしトーナメントMTの最小出次数がf(k)以上であり、かつ長さがIに属する有向サイクルがなければ、Gには長さがIに属するPCサイクルが存在しないことが保証された。
• この同値性を用いて、MT′の最小出次数がf(k)以上であり、かつ長さi ∈ Iの有向サイクルがなければ、MT′はk個の互いに素な有向サイクルを含むことが示され、それらはGにおけるk個の頂点非共有のPCサイクルに対応する。