[論文レビュー] Vertex Isoperimetric Inequalities for a Family of Graphs on Z^k

Ellen Veomett, A. J. Radcliffe|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Graph theory and applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℓ∞-距離1の頂点間に辺をもつℤ^k上のグラフにおける最適な頂点等周不等式を確立し、特定の良い順序付けにおける初期セグメントが頂点境界を最小化することを証明する。新規の圧縮および中心化技術を用いて、これらの集合の境界を計算し、最小境界集合がネストされていることを示し、古典的な等周結果をこのℓ∞-ベースのグラフ族へと拡張する。

ABSTRACT

We consider the family of graphs whose vertex set is Z^k where two vertices are connected by an edge when their l\infty-distance is 1. We prove the optimal vertex isoperimetric inequality for this family of graphs. That is, given a positive integer n, we find a set A \subset Z^k of size n such that the number of vertices who share an edge with some vertex in A is minimized. These sets of minimal boundary are nested, and the proof uses the technique of compression. We also show a method of calculating the vertex boundary for certain subsets in this family of graphs. This calculation and the isoperimetric inequality allow us to indirectly find the sets which minimize the function calculating the boundary.

研究の動機と目的

• ℓ∞-距離1の頂点を結ぶ辺をもつℤ^k上のグラフにおける頂点等周不等式を確立すること。
• ℤ^kにおけるサイズnの集合が頂点境界（隣接頂点数）を最小化する構造を特定すること。
• このグラフ族における部分集合の頂点境界を計算するための手法を開発すること。
• 最小境界を達成する集合がネストされていること、すなわちハーパーの定理やボリョバース＝リーダーの結果に類似して、ある良い順序付けにおける初期セグメントであることの証明。

提案手法

• ℤ^1から始めて、ℤ^k上の良い順序 ≺ を帰納的に定義する：0 ≺ 1 ≺ -1 ≺ 2 ≺ -2 ≺ …
• 境界サイズを保存または減少させる圧縮の変種を用い、最小境界集合に到達するための「ジャストリング」プロセスを組み合わせる。
• 各座標をゼロに向けて圧縮することで境界を最小化する「中心化」集合の概念を導入する。
• X ⊂ ℤ^k に対する頂点境界を f(X) = ∑_{I⊆{1,…,k}} 2^{|I|} |P_I(X)| で与える公式を導出する。ここで P_I(X) は X を I に含まれる座標に射影したものである。
• 境界関数 f(X) が、良い順序 ≺ における初期セグメントのとき最小化されることを証明する。
• 帰納法とコーナーポイント解析を用いて、点を追加する際の境界の増加を計算し、コーナーポイント z に対して |∂S| = |∂(S∖{z})| + 3^{|Z_K|}2^{|Z_D|} が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ^k 上の ℓ∞-グラフにおけるサイズnの部分集合の頂点境界の最小サイズは何か？
• RQ2 最小頂点境界を達成する集合はネストされているか、すなわちある良い順序付けにおける初期セグメントか？
• RQ3 このグラフ族における部分集合の頂点境界は、射影に基づく公式を用いて効率的に計算可能か？
• RQ4 古典的な等周問題で用いられる圧縮技術は、このℓ∞-ベースのグラフ族へと拡張可能か？
• RQ5 境界計算は、類似した対称性をもつ他のグラフへ一般化可能か？

主な発見

• 最適な頂点等周不等式が成立する：任意のnに対して、良い順序 ≺ におけるサイズnの初期セグメントが頂点境界を最小化する。
• 最小境界集合はネストされている。つまり、サイズnで最小境界を達成する集合は、サイズn+1の集合に含まれる。
• X ⊂ ℤ^k に対する頂点境界は f(X) = ∑_{I⊆{1,…,k}} 2^{|I|} |P_I(X)| で与えられ、中心化された集合に対しては正確な計算が可能になる。
• 有限かつ圧縮された集合Sがコーナーポイントzをもつとき、zを追加すると境界は 3^{|Z_K|}2^{|Z_D|} 増加する。ここで Z_K と Z_D は、z の最初のkおよび最後のd個の座標におけるゼロ座標である。
• ℤ^kのすべてのn要素部分集合における f(X) の最小値は、≺ における初期セグメントで達成され、最適性が証明される。
• この手法は ℕ^k へも拡張可能であり、境界関数 f(Y) = ∑_{I⊆{1,…,k}} |P_I(Y)| は、誘導された良い順序付けにおける初期セグメントで最小化される。