[論文レビュー] Vertex operators and the class algebras of symmetric groups

Alain Lascoux, Jean‐Yves Thibon|ArXiv.org|Feb 6, 2001

Advanced Algebra and Logic被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、すべての対称群代数において、ジュシス＝マーフィー要素の冪和に対する乗算を一様に実装する頂点演算子を導入し、${\cal W}_{1+\infty}$代数の表現を明らかにする。行列積分を用いてGoupil-Poulalhon-Schaefferの演算子を再導出するとともに、正規化された共轭類における構造定数の$n$に依存しない性質を用いて、ケロフ＝オルシャンスキーのヤング図形上の多項式関数を再導出する。

ABSTRACT

We exhibit a vertex operator which implements multiplication by power-sums of Jucys-Murphy elements in the centers of the group algebras of all symmetric groups simultaneously. The coefficients of this operator generate a representation of ${\cal W}_{1+\infty}$, to which operators multiplying by normalized conjugacy classes are also shown to belong. A new derivation of such operators based on matrix integrals is proposed, and our vertex operator is used to give an alternative approach to the polynomial functions on Young diagrams introduced by Kerov and Olshanski.

研究の動機と目的

• すべての$n$に対して、対称群代数の中心におけるジュシス＝マーフィー要素の冪和に対する乗算を同時に実装する頂点演算子を構成すること。
• 得られた演算子が${\cal W}_{1+\infty}$代数の表現を生成することを示し、FrenkelとWangのバーラソロ代数結果を拡張すること。
• 行列積分とガウス型関数積分を用いて、Goupil-Poulalhon-Schaefferの演算子の新たな導出を提供すること。
• 正規化された共轭類における構造定数の$n$に依存しない性質を証明することで、ケロフとオルシャンスキーのヤング図形上の多項式関数を再導出すること。
• 正規化された共轭類に対する乗算を実装する演算子が、$U({\cal W}_{1+\infty})$内の可換部分代数をなすことの確立。

提案手法

• 頂点演算子は、$\mathbb{C}{\mathfrak{S}}_n$におけるジュシス＝マーフィー要素の$k$番目の冪和$p_k(\Xi_n)$に対する乗算を実装する微分作用素${\sf D}_k$の母関数として構成される。
• この演算子は、$\mathfrak{gl}_\infty$および$\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$のFock空間表現における古典的頂点演算子$\Gamma(z_1,z_2)$の形で表現される。
• 作用素$[\sf{D}_k, \alpha_l]$の交換関係が計算され、標準的生成子を用いた閉形式で表される、${\cal W}_{1+\infty}$の荷電数1の表現を生成することが示される。
• 行列積分技法を用いる際、すべての$n$に関する生成関数を組み合わせ、Wickの公式を用いて評価可能な修正ガウス測度に還元される。
• コプロダクト構造$\Gamma(F) = \delta\sigma_1 \sum f_{\alpha\beta} p_\alpha \otimes p_\beta$が用いられ、縮約された分割$\rho$に対する$\sf{H}_\rho$の作用が微分作用素として導出される。
• 正規化された共轭類における係数が$n$に依存しないことの証明により、ケロフ＝オルシャンスキー関数との関係が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての対称群代数にわたるジュシス＝マーフィー要素の冪和に対する乗算を統一する1つの頂点演算子が構成可能か？
• RQ2 得られた演算子が${\cal W}_{1+\infty}$代数の表現を生成するか。もしそうならば、構造定数は既知の生成子とどのように関係するか？
• RQ3 球関数に依存せずに、行列積分法を用いてGoupil-Poulalhon-Schaefferの演算子を再導出可能か？
• RQ4 正規化された共轭類における構造定数の$n$に依存しない性質は、頂点演算子形式の結果として生じるか？
• RQ5 正規化された共轭類に対する乗算を実装する演算子は、$U({\cal W}_{1+\infty})$内に可換部分代数をなすか？

主な発見

• 頂点演算子$\Gamma(z_1,z_2)$は、すべての対称群代数の中心に作用し、すべての$n$に対して$p_k(\Xi_n)$に対する乗算を実装する。
• $[\sf{D}_k, \alpha_l]$の交換関係は、標準的生成子を用いた閉形式で表される、${\cal W}_{1+\infty}$の荷電数1の表現を生成する。
• 正規化された共轭類$\sf{a}_{\rho;n}$の構造定数は$n$に依存せず、これは関数$f_\rho(\lambda)$がシフトされた冪和$\tilde{p}_k(\lambda)$に関する多項式であることを示唆する。
• Goupil-Poulalhon-Schaefferの演算子$\sf{H}_\rho$は行列積分を用いて再導出され、球関数を用いない直接的な組合せ論的証明が得られる。
• 正規化された共轭類に対する乗算を実装する演算子$\sf{A}_\rho$は、$R_0$表現を通じて$U({\cal W}_{1+\infty})$の像に属する。これは、可換作用素$P_k$の多項式として表されるためである。
• $P_n = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} \sf{D}_k$の関係により、$P_k$と${\sf D}_k$が結びつけられ、$\sf{A}_\rho$が$P_k$基底を介して$U({\cal W}_{1+\infty})$に属することを確認する。