[論文レビュー] Vertical Vafa-Witten invariants

Pieter Ties Allerd Laarakker|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ p_g(S) > 0 $ を満たす表面に対して垂直 Vafa-Witten 不変量のwell-definednessを確立し、それらの寄与が安定な場合と同一のタウトロジカル積分によって計算されることを証明する。仮想局所化および余層技法を用いて、非精錬および精錬不変量が両方とも層のモジュライ空間上の積分から生じることを示し、Tanaka-ThomasおよびThrefftzによる先行の予想を拡張する。

ABSTRACT

We show that \emph{vertical} contributions to (possibly semistable) Tanaka-Thomas-Vafa-Witten invariants are well defined for surfaces with $p_g(S)>0$, partially proving conjectures of \cite{TT2} and \cite{T}. Moreover, we show that such contributions are computed by the same tautological integrals as in the stable case, which we studied in \cite{L}. Using the work of Kiem and Li, we show that stability of universal families of vertical Joyce-Song pairs is controlled by cosections of the obstruction sheaves of such families.

研究の動機と目的

• 表面に対して $ p_g(S) > 0 $ を満たす場合の Tanaka-Thomas-Vafa-Witten 不変量の垂直寄与の well-definedness を証明し、[TT17b] および [Tho18a] の予想を確認すること。
• 垂直不変量が安定な場合と同一のタウトロジカル積分によって計算されることを示し、[Laa18] の結果を一般化すること。
• 障害層の余層を用いた垂直 Joyce-Song ペair の普遍族の安定性を確立すること。
• 仮想局所化フレームワークを垂直設定における非精錬および精錬 Vafa-Witten 不変量へ拡張すること。

提案手法

• canonical bundle $ X = K_S $ 上の $ bC^* $-作用を用いた仮想局所化により、モジュライ空間を固定点集合へ分解する。
• Kiem と Li の余層法を適用し、障害層の解析を通じて垂直 Joyce-Song ペair の普遍族の安定性を制御する。
• ランク $ r $ の順序付き分割によってインデックス付けされる直和として、垂直 Joyce-Song ペair のモジュライ空間 $ P^lat_{1^r} $ を構成する。
• K-理論的仮想局所化公式を用いて、仮想クラスの $ chi_t $-不変量を用いて精錬不変量を計算する。
• [GT19] の結果を用いて、垂直寄与の計算を $ S $ 上の点のヒルベルトスキームの積上の積分へ還元する。
• 仮想リーマン-ローチの公式を適用し、精錬不変量を $ \operatorname{ch}(\det(\mathcal{R}\mathscr{H}\mathit{om})^{1/2}) $ および $ \Lambda^\bullet(N^\vee) $ を含むタウトロジカル積分として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ p_g(S) > 0 $ を満たす表面に対して、Vafa-Witten 不変量の垂直寄与は well-defined か？
• RQ2 垂直不変量は、安定な場合と同一のタウトロジカル積分から生じるか？
• RQ3 障害層の余層を用いて、垂直 Joyce-Song ペair の普遍族の安定性を制御できるか？
• RQ4 垂直寄与の精錬 Vafa-Witten 不変量は、仮想局所化および K-理論的手法を用いて計算可能か？
• RQ5 その結果得られる積分は、$ S $ 上の点のヒルベルトスキーム上の既知のタウトロジカル積分に還元可能か？

主な発見

• $ p_g(S) > 0 $ を満たす表面に対して、垂直 Vafa-Witten 不変量は well-defined であり、[TT17b] および [Tho18a] の予想を確認する。
• 非精錬垂直寄与は $ (-1)^{\chi(\gamma(m))-1} \chi(\gamma(m)) \mathrm{VW}_\gamma^\mathrm{vert} $ で与えられ、全不変量の構造と一致する。
• 精錬垂直寄与は、モジュライ空間 $ M^n_\alpha $ 上の和として計算され、$ \mathrm{VW}_\gamma^\mathrm{vert}(t) = \sum_{\alpha,n} \chi_t\left(M^n_\alpha, \frac{\mathcal{O}^{\mathrm{vir}} \otimes \det(\mathcal{R}\mathscr{H}\mathit{om})^{1/2}}{\Lambda^\bullet(N^\vee)} \right) $ となる。
• 被積分関数は $ A^*_{\bbC^*}(S_\beta^{[n]}) $ に値をとるクラスへと降下し、仮想クラスは $ \eta_*[M^n_\alpha]^{\mathrm{vir}} = \#\operatorname{Pic}_0(S)[r] \cdot [S_\beta^{[n]}]^{\mathrm{vir}} $ を満たす。
• ねじれ点の因子を考慮した後、得られる積分は [Laa18, 式 4.5] と一致し、安定な場合と一貫していることが証明される。
• 仮想リーマン-ローチの公式により、精錬不変量はチャーン類およびTodd類を含むタウトロジカル積分に還元され、不変量の計算可能性が確認される。