[論文レビュー] Vertices with fixed outdegrees in large Galton-Watson trees

Paul Thévenin|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、大規模な条件付きガルトン＝ワトソン木における固定出次数を持つ頂点の漸近的挙動を、輪郭探索および辞書的探索プロセスを用いて研究する。制限付き計数過程が中心化されるための必要十分条件を確立し、フラクチュエーションの普遍性を拡張し、一般の条件下（無限分散および亜臨界的な力の法則型の子孫分布を含む）で漸近的正規性を証明する。

ABSTRACT

We are interested in nodes with fixed outdegrees in large conditioned Galton--Watson trees. We first study the scaling limits of processes coding the evolution of the number of such nodes in different explorations of the tree (lexicographical order and contour order) starting from the root. We give necessary and sufficient conditions for the limiting processes to be centered, thus measuring the linearity defect of the evolution of the number of nodes with fixed outdegrees. This extends results by Labarbe & Marckert in the case of the contour-ordered counting process of leaves in uniform plane trees. Then, we extend results obtained by Janson concerning the asymptotic normality of the number of nodes with fixed outdegrees.

研究の動機と目的

• 大規模な条件付きガルトン＝ワトソン木における固定出次数を持つ頂点の計数過程のスケーリング極限を分析すること。
• 特に、ラバーブとマルケルトによる均一平面木における葉の輪郭プロセスにおける中心化されたフラクチュエーションの先行結果を拡張すること。
• ジェンソンによる固定出次数カウントの漸近的正規性結果を、無限分散および亜臨界的な力の法則型の子孫分布を含むより広範な分布族に一般化すること。
• 適切な正規化のもとで、条件付き木がα-安定木に収束することを確立すること。

提案手法

• ガルトン＝ワトソン木における固定出次数頂点数の変化をコード化するために、輪郭および辞書的（深さ優先）探索プロセスを用いる。
• 計数過程のスケーリングされた版に関数中心極限定理を適用し、ブラウン運動およびブラウン運動のエクスカージョンへの同時収束を証明する。
• 2変量中心極限定理および局所極限定理の議論を用いて、複数の出次数タイプの同時収束を扱う。
• 安定分布理論および吸引域の結果を応用し、α ∈ (1, 2] に対して α-安定木への収束を拡張する。
• 多変量極限定理および条件付き確率の議論を用いて、固定出次数カウントの漸近的分布を導出する。
• ルカシェヴィチパスおよび輪郭関数を木のコード化手法として用い、適切な正規化により普遍的極限を取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定出次数頂点の計数プロセスが輪郭プロセスにおいて漸近的に中心化される条件は何か？
• RQ2 均一平面木および葉に限らない範囲において、輪郭プロセスにおける中心化されたフラクチュエーションの普遍性は保持されるか？
• RQ3 無限分散を有する臨界的なガルトン＝ワトソン木において、固定出次数カウントの漸近的正規性は拡張可能か？
• RQ4 大規模な条件付き木における複数の固定出次数カウントの同時極限分布は何か？
• RQ5 任意の固定出次数集合 A に対して、µA > 0 を満たす場合、条件付き木が α-安定木に収束するか？

主な発見

• 固定出次数頂点数の輪郭プロセスにおける極限過程が中心化されるのは、子孫分布が出次数集合 A を含む特定のモーメント条件を満たす場合に限る。
• 有限分散を有する臨界的なガルトン＝ワトソン木では、複数の固定出次数の正規化されたカウントの同時収束が、出次数集合の対ごとの共通部分集合に依存する共分散構造を持つ多変量正規分布に成り立つ。
• 無限分散の場合、子孫分布が α-安定分布の吸引域にあるとき、正規化された計数プロセスはブラウン運動のエクスカージョンと独立なブラウン運動を含む2次元極限に収束する。
• β > 2 である亜臨界的な力の法則型の子孫分布に対しては、固定出次数の正規化されたカウントが、平均ゼロおよび出次数集合の確率に依存する共分散行列を持つ多変量正規分布に同時に収束する。
• 出次数が A に属する頂点を n 個持つように条件づけた木 Tn^A は、適切な正規化の後、Gromov-Hausdorff 距離において α-安定木に分布収束する。
• 臨界的なガルトン＝ワトソン木が正確に n 個の出次数が A に属する頂点を持つ漸近的確率は、C·L(n)·n^(-1-1/α) に漸近的に比例する。ここで C は µ と A に依存し、L(n) はゆっくり変化する関数である。