[論文レビュー] Very Singular Similarity Solutions and Hermitian Spectral Theory for Semilinear Odd-Order PDEs

R. S. Fernandes, В. А. Галактионов|ArXiv.org|Oct 26, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、奇数階非線形放物型方程式における自己随伴でない作用素に対してヘルミート型スペクトル理論を構築し、非常に特異な相似解（VSS）が臨界指数 $ p_l = 1 + \frac{3}{l+1} $ で分岐することを確立した。各 $ p_l $ は、スケーリング作用素 $ \mathbf{B} $ の固有関数 $ \psi_l $ に対応する。解析により、$ p $-パrameter空間における可算個の亜臨界ピッチfork分岐が明らかになった。これは解析的に確認され、$ l=0 $, $ k=1 $ において数値的にも裏付けられている。

ABSTRACT

Very singular self-similar solutions of semilinear odd-order PDEs are studied on the basis of a Hermitian-type spectral theory for linear rescaled odd-order operators.

研究の動機と目的

• 非自己随伴スケーリング作用素 $ \mathbf{B} $ および $ \mathbf{B}^* $ の精密なスペクトル理論を構築すること。
• 線形分散方程式 $ u_t = u_{xxx} $ の解の漸近的挙動を、このスペクトル枠組みを用いて分析すること。
• 非線形方程式 $ u_t = u_{xxx} - |u|^{p-1}u $ に対して、非常に特異な相似解（VSS）の存在を確立すること、特に臨界指数 $ p_l $ において。
• 各 $ p = p_l = 1 + \frac{3}{l+1} $ において、作用素 $ \mathbf{B} $ の固有関数 $ \psi_l $ から $ p $-分岐が生じることを分岐理論を用いて証明すること。
• 数値的困難が臨界点付近に生じるにもかかわらず、可算個の $ p $-分岐分岐の解析的・数値的証拠を提供すること。

提案手法

• スケーリング作用素 $ \mathbf{B} = D_y^3 + \frac{1}{3}yD_y + \frac{1}{3}I $ 及びその随伴 $ \mathbf{B}^* = D_y^3 - \frac{1}{3}yD_y $ の形式的導出。離散スペクトル $ \sigma(\mathbf{B}) = \sigma(\mathbf{B}^*) = \{ -\frac{l}{3} \}_{l=0}^\infty $ を有する。
• 固有関数 $ \psi_l(y) = \frac{(-1)^l}{\sqrt{l!}} D_y^l \operatorname{Ai}(y) $ の特定。ここで $ \operatorname{Ai}(y) $ はエアリー関数である。
• ペア $ \{ \mathbf{B}, \mathbf{B}^* \} $ に対するヘルミート型スペクトル理論の適用により、双対固有関数系が得られ、$ \langle \psi_l, \psi_l^* \rangle_* = 1 $ を満たす。
• 自己相似的アンザッツ $ u(x,t) = t^{-1/(p-1)} f(x/t^{1/3}) $ を用いた非線形PDEのODEへの還元により、$ \mathbf{B}f + \left( \frac{1}{p-1} - \frac{1}{3} \right)f - |f|^{p-1}f = 0 $ を得る。
• 分岐理論を用いて臨界指数 $ p_l $ の近傍における解分岐を分析。$ \varepsilon = p_l - p $ とおくと、$ |C|^{p-1} \propto \varepsilon $ となる。
• 数値的継続法として台形則積分（MatLab `trapz` を用いて）を用い、$ \int |F|^3 F > 0 $ の正値性を検証。これにより、$ p_0 = 4 $ における基本的VSSの存在が支持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己随伴作用素 $ \mathbf{B} $ 及びその随伴 $ \mathbf{B}^* $ のスペクトル構造は、線形分散方程式 $ u_t = u_{xxx} $ の解の漸近的挙動をどのように支配するか？
• RQ2 固有関数 $ \psi_l $ は、非線形方程式 $ u_t = u_{xxx} - |u|^{p-1}u $ における非常に特異な相似解（VSS）の形成において果たす役割は何か？
• RQ3 どの臨界指数 $ p $ においてVSSの分岐が生じるか？また、この指数は作用素 $ \mathbf{B} $ の固有値 $ \lambda_l = -l/3 $ とどのように関係するか？
• RQ4 臨界点付近での数値的困難にもかかわらず、可算個の $ p $-分岐分岐の存在は解析的に正当化可能か？
• RQ5 各 $ p = p_l $ における分岐の性質（例：ピッチフォーク分岐）は何か？また、解の振幅は $ \varepsilon = p_l - p $ に対してどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• 線形作用素 $ \mathbf{B} $ 及びその随伴 $ \mathbf{B}^* $ は、離散スペクトル $ \sigma(\mathbf{B}) = \sigma(\mathbf{B}^*) = \{ -\frac{l}{3} \}_{l=0}^\infty $ を持ち、固有関数は $ \psi_l(y) = \frac{(-1)^l}{\sqrt{l!}} D_y^l \operatorname{Ai}(y) $ である。
• 非線形方程式 $ u_t = u_{xxx} - |u|^{p-1}u $ に対して、可算個の臨界指数 $ p_l = 1 + \frac{3}{l+1} $, $ l = 0,1,2,\dots $ が特定され、VSSが $ \psi_l $ から分岐することが示された。
• 各 $ p = p_l $ において、亜臨界ピッチフォーク分岐が発生し、解の振幅は $ |C|^{p-1} \propto \varepsilon $ とスケーリングされる。ここで $ \varepsilon = p_l - p $ であり、$ \kappa_l = \langle |\psi_l|^{p-1}\psi_l, \psi_l^* \rangle_* > 0 $ である。
• 数値的証拠により、$ p_0 = 4 $ における最初の分岐分岐が存在することが支持され、$ \int |F|^3 F > 0 $ により、分岐方程式における非線形項の正値性が確認された。
• 臨界点付近での振動的挙動に起因する数値的困難にもかかわらず、解析的正当化により、可算個の $ p $-分岐分岐の存在が確認された。図11に図示されている。
• 高次の固有モードの極限において、臨界指数 $ p_l \to 1^+ $ となることから、極限でますます特異な挙動を示すことが示された。