[論文レビュー] Very weak solutions of the Stokes problem in a convex polygon

Makram Hamouda, Roger Témam+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元の凸多角形領域における定常および時間発展型ストークス問題に対して、非常に弱い解の存在および一意性を確立する。境界データが任意の $L^2$ であり、発散なし条件を満たす場合、$L^2(\Omega)^2$ 内に解が存在することを証明する。主な貢献は、$L^2$ 速度場におけるトレース定理の確立と、低正則性設定における境界条件の定義・特徴づけに転置法を用いることにある。

ABSTRACT

Motivated by the study of the corner singularities in the so-called cavity flow, we establish in this article, the existence and uniqueness of solutions in $L^2(Ω)^2$ for the Stokes problem in a domain $Ω,$ when $Ω$ is a smooth domain or a convex polygon. We establish also a trace theorem and show that the trace of $u$ can be arbitrary in $L^2(\partialΩ)^2.$ The results are also extended to the linear evolution Stokes problem.

研究の動機と目的

• 凸多角形領域における定常ストークス問題に対する非常に弱い解の存在および一意性を確立すること。
• ストークス方程式を満たす $L^2$ ベクトル場のためのトレース理論を構築し、低正則性における境界値の定義を可能にすること。
• 結果を時間依存（時間発展型）ストークス問題に拡張し、$L^2$ 境界データを伴うものに適用すること。
• 双対性および転置法を用いて、境界における速度の接線成分および法線成分を特徴づけること。
• リーマン・キャビティ問題のような流れにおけるコーナー特異性の解析のための厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 随伴ストークス問題に基づく転置法を用いて、弱解および境界トレースを定義すること。
• 楕円型および放物型問題に対するLions-Magenes理論を応用し、$L^2$ 空間における事前推定を得ること。
• 接線成分のトレース作用素 $\gamma_\tau$ を、$L^2(0,T;L^2(\Omega)^2)$ から $L^2(0,T;H^{-1/2}_\tau(\Gamma)^2)$ への写像として構成すること。
• 滑らかなベクトル場が $H^1_0$ 型空間において稠密であることを証明し、弱形式における部分積分の正当化を図ること。
• 近似される境界データ列における極限への移行に、コンパクトネスおよび弱収束の議論を用いること。
• 双対性を用いて一般化されたストークスの公式を確立し、解と境界データを随伴系を通じて結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界データが $L^2$ のみである場合、凸多角形領域におけるストークス問題の非常に弱い解を定義でき、一意に定まるか。
• RQ2 ストークス方程式を満たす $L^2(\Omega)^2$ に属する速度場が持つトレースの性質は何か。
• RQ3 $L^2$ 正則性解に対して、滑らかでないデータを伴う境界条件をどのように意味的に解釈できるか。
• RQ4 時間依存ストークス問題に対しても、$L^2$ 境界データを伴う解の存在および一意性を拡張できるか。
• RQ5 非常に弱い定式化の適切な定式化を保証するため、境界データにおける発散なし条件の役割は何か。

主な発見

• 境界データ $g \in L^2(\Gamma)^2$ が $\int_\Gamma g \cdot n \, d\Gamma = 0$ を満たす任意のものに対して、体積力がゼロで発散がゼロであるストークス問題に対して、解 $u \in L^2(\Omega)^2$ が一意に存在することを証明した。
• トレース定理が確立され、速度トレースの接線成分が $H^{-1/2}_\tau(\Gamma)^2$ に属することを示し、低正則性における境界値の定義を可能にした。
• 時間発展型ストークス問題に対して、境界データ $g \in L^2(0,T;L^2(\Gamma)^2)$ が時間に関してほとんど everywhere で発散なし条件を満たす場合、解 $u \in L^2(0,T;L^2(\Omega)^2)$ の存在および一意性が証明された。
• 双対性を用いた一般化されたストークスの公式が成り立ち、適切なテスト関数 $v$ に対して $\langle \gamma_\tau u, g_1 \rangle = \int_{Q_T} u \cdot (\partial_t v + \Delta v) \, dxdt$ が成り立つ。
• 事前推定式 $\|u\|_{L^2(\Omega)^2} \leq c_1 \|g\|_{L^2(\Gamma)^2}$ が導出され、$c_1$ は領域 $\Omega$ のみに依存する。
• 結果は、凸多角形を含む多角形型領域（コーナー特異性を有するものも含む）に拡張され、リーマン・キャビティ流れを動機づけた応用例として用いられた。