[論文レビュー] Vibrations in jammed solids: Beyond linear response

Thibault Bertrand, Carl F. Schreck+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Granular flow and fluidized beds被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、純粋に反発的で摩擦のない接触力下におけるジャミング粒子固体の相図を提案し、調和的振動応答を示す等座標固体（ICS）と、強く非調和的応答を示す低座標固体（HCS）を区別する。主な発見は、HCSにおける振動応答が非調和的であり、測定手法に依存することであり、ジャミング遷移に近いジャミング物質における線形応答仮定に疑問を呈するものである。

ABSTRACT

We propose a `phase diagram' for particulate systems that interact via purely repulsive contact forces, such as granular media and colloidal suspensions. We identify and characterize two distinct classes of behavior as a function of the input kinetic energy per degree of freedom $T_0$ and packing fraction deviation above and below jamming onset $Δϕ=ϕ- ϕ_J$ using numerical simulations of purely repulsive frictionless disks. Iso-coordinated solids (ICS) only occur above jamming for $Δϕ> Δϕ_c(T_0)$; they possess average coordination number equal to the isostatic value ($< z> = z_{ m iso}$) required for mechanically stable packings. ICS display harmonic vibrational response, where the density of vibrational modes from the Fourier transform of the velocity autocorrelation function is a set of sharp peaks at eigenfrequencies $ω_k^d$ of the dynamical matrix evaluated at $T_0=0$. Hypo-coordinated solids (HCS) occur both above and below jamming onset within the region defined by $Δϕ> Δϕ^*_-(T_0)$, $Δϕ< Δϕ^*_+(T_0)$, and $Δϕ> Δϕ_{cb}(T_0)$. In this region, the network of interparticle contacts fluctuates with $< z> \approx z_{ m iso}/2$, but cage-breaking particle rearrangements do not occur. The HCS vibrational response is nonharmonic, {\it i.e} the density of vibrational modes $D(ω)$ is not a collection of sharp peaks at $ω_k^d$, and its precise form depends on the measurement method. For $Δϕ> Δϕ_{cb}(T_0)$ and $Δϕ< Δϕ^*_{-}(T_0)$, the system behaves as a hard-particle liquid.

研究の動機と目的

• 純粋に反発的力下におけるジャミング粒子系の振動応答を理解すること、特にジャミング遷移に近い領域における挙動を対象とする。
• 運動エネルギー $T_0$ と密度パラメータのずれ $\Delta\phi$ を関数として、これらの系における力学的および振動的挙動の明確な分類を同定・特徴付けること。
• 振動モードを直接測定することで、ジャミング物質における線形応答仮定を疑問視すること。
• 粒子の再配置がなくとも、接触ネットワークの揺らぎが振動スペクトルに与える影響を明確化すること。

提案手法

• 純粋に反発的二体間ポテンシャル $V(r_{ij}) = \frac{\epsilon}{2}(1 - r_{ij}/\sigma_{ij})^2 \Theta(1 - r_{ij}/\sigma_{ij})$ を有する $N$ 個の二成分で摩擦のない円盤の数値シミュレーション。
• 速度自己相関関数のフーリエ変換により振動応答を測定し、$D(\omega^v)$ を得る。
• $T_0=0$ における動的行列から得られる $D(\omega^d)$ と、変位相関行列から得られる $D(\omega^s)$ を比較する。
• $\langle z\rangle/z_{\rm iso}$ と $D(\omega)$ を用いて、三つの領域（等座標固体（ICS）、低座標固体（HCS）、硬粒子液体（HPL））を同定する。
• 周波数依存のモード軟化を解析するためのスケーリング・コラプスを用い、$\omega_m^s \sim \alpha \sqrt{T_0} (\Delta\phi)^\nu$ の形にフィットし、ジャミングを超えた領域では $\nu \approx 0.25$ が得られた。
• 有効直径スケーリングを用いてジャミング点の熱的シフト $\Delta\phi_s(T_0)$ を推定し、$\Delta\phi_s \sim \sqrt{T_0}$ の関係が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $T_0$ と $\Delta\phi$ を関数として、ジャミング固体の振動応答が調和的挙動からどの程度逸脱するか。
• RQ2 接触ネットワークの揺らぎが、揺らぎのある接触ネットワークを持つ系における調和的・非調和的振動スペクトルの分岐を決定するのはどのような要因か。
• RQ3 異なる測定手法が低座標領域で異なる $D(\omega)$ をもたらす理由は何か。
• RQ4 熱揺らぎはジャミング転移および接触ネットワークの安定性にどのように影響するか。
• RQ5 HCSにおける非調和的振動応答は、普遍的なスケーリング形に収束可能か。

主な発見

• 等座標固体（ICS）は、$\Delta\phi > \Delta\phi_c(T_0) \sim N^{0.85} \sqrt{T_0}/A$ の領域に存在し、$\langle z\rangle = z_{\rm iso}$ であり、振動応答は $\omega_k^d$ における鋭いピークを示す調和的である。
• 低座標固体（HCS）は、$\Delta\phi > \Delta\phi_{-}^*(T_0)$、$\Delta\phi < \Delta\phi_{+}^*(T_0)$、および $\Delta\phi > \Delta\phi_{cb}(T_0)$ の領域に存在し、$\langle z\rangle/z_{\rm iso} \approx 0.5$ であり、強く非調和的振動応答を示す。
• HCSにおいては、$D(\omega^v)$ と $D(\omega^s)$ に顕著な差が認められ、$D(\omega^v)$ は低周波数領域に強いピークを持ち、高周波数領域では $D(\omega^s)$ とは逆の曲率を示す。
• $\Delta\phi > \Delta\phi_{cb}(T_0)$ かつ $\Delta\phi < \Delta\phi_{-}^*(T_0)$ の領域では、系は硬粒子液体（HPL）として振る舞い、$\langle z\rangle/z_{\rm iso} \sim 0$ であり、$D(\omega)$ は液体に類似したスペクトルを示す。
• ジャミングより下では一般化されたキャージサイズ $l_c$ が $\Delta\phi$ に比例し、ジャミングを超えた領域では $\sim (\Delta\phi)^\lambda$ に比例し、$\lambda \gtrsim 2$ となる。
• モード軟化周波数 $\omega_m^s$ は、$\omega_m^s \sim \alpha \sqrt{T_0} (\Delta\phi)^\nu$ のスケーリングに従ってコラプスし、ジャミングを超えた領域では $\nu \approx 0.25$、ジャミング未満では $\nu = 1$ となることから、異なるスケーリング則の領域が明確に識別された。