[論文レビュー] Virasoro Constraints for Toric Bundles

Thomas D. Coates, Alexander Givental+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Gromov–Witten理論におけるVirasoro制約が、トーリック bundle $E \to B$ の全空間で成り立つための必要十分条件が、その基底 $B$ で成り立つことであることを確立している。等配上同型局在化とBrownのトーリックバンドルに対する鏡映理論を用いて、$E$ の不変量をファイバーの genus-zero 不変量と $B$ のすべての genus の不変量で表す局在化公式を導出し、非等面上限において $E$ のVirasoro次数作用素が $B$ のそれへ還元されることを示し、制約の同値性を証明する。

ABSTRACT

We show that the Virasoro conjecture in Gromov--Witten theory holds for the the total space of a toric bundle $E o B$ if and only if it holds for the base $B$. The main steps are: (i) we establish a localization formula that expresses Gromov--Witten invariants of $E$, equivariant with respect to the fiberwise torus action, in terms of genus-zero invariants of the toric fiber and all-genus invariants of $B$; and (ii) we pass to the non-equivariant limit in this formula, using Brown's mirror theorem for toric bundles.

研究の動機と目的

• トーリックバンドル $E \to B$ の全空間でVirasoro制約が成り立つ条件を特定すること。
• $E$ の等面上同型Gromov–Witten不変量を、トーリックファイバーの不変量と基底 $B$ の不変量で表す局在化公式を確立すること。
• この公式の非等面上限が、$E$ でVirasoro制約が成り立つための必要十分条件が $B$ で成り立つことであることを示すこと。
• トーリックバンドルのBrownの鏡映定理を用いて、非等面上限において $E$ と $B$ の生成関数を関連付けること。

提案手法

• 等面上同型Gromov–Witten不変量を、トーリックファイバーの genus-zero 不変量と基底 $B$ のすべての genus の不変量で表す局在化公式を導出すること。
• 生成関数の系列を記述する変種 $\mathcal{I}(-z)$ を用い、その漸近的挙動を停留相解析に関連付けること。
• 局在化公式の非等面上限を適用し、トーリックバンドルのBrownの鏡映定理を用いて $\mathcal{I}(-z)$ を $B$ の $\mathcal{D}$-加群構造に関連付けること。
• Virasoro次数作用素 $l_0(E) = zd/dz + 1/2 + \mu_E + c_1(E)/z$ が、交換関係を介して非等面上限で $l_0(B)$ に還元されることを示すこと。
• 交換関係 $\mathcal{I}(-z)^{-1}(zd/dz + \mu_B + c_1(B)/z) = (zd/dz + \mu_E + \mathcal{E}(z)/z)\mathcal{I}(-z)^{-1}$ を用いて、$E$ と $B$ の次数作用素を関連付けること。
• 生成関数の $\mathcal{D}_B^{\otimes |F|}$ と $\mathcal{D}_E$ を結ぶループ群変換が次数を保存することを示し、Virasoro制約の同値性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリックバンドル $E \to B$ の全空間でVirasoro制約が成り立つ条件は何か？
• RQ2 等面上同型局在化を用いて、$E$ のGromov–Witten不変量をトーリックファイバーと基底 $B$ の不変量で表せるか？
• RQ3 等面上同型局在化公式の非等面上限が、$E$ でVirasoro制約が成り立つための必要十分条件が $B$ で成り立つことであるか？
• RQ4 非等面上限において、$E$ の $\mathcal{I}$-関数は $B$ の $\mathcal{D}$-加群構造とどのように関係するか？
• RQ5 非等面上限において、$E$ の次数作用素は $B$ のそれと同値であるか？ そして、これはVirasoro制約の同値性を示唆するか？

主な発見

• Virasoro制約が $E$ で成り立つための必要十分条件は、$B$ で成り立つことである。これにより、制約問題が基底に完全に還元される。
• 局在化公式により、$E$ の等面上同型Gromov–Witten不変量が、トーリックファイバーの genus-zero 不変量と $B$ のすべての genus の不変量を用いて、$\mathcal{I}(-z)$-関数を通じて表現可能である。
• 非等面上限における $E$ の $\mathcal{I}(-z)$-関数はBrownの鏡映定理に従い、$B$ の $\mathcal{D}$-加群と関連づけられる。
• 交換関係 $\mathcal{I}(-z)^{-1}(zd/dz + \mu_B + c_1(B)/z) = (zd/dz + \mu_E + \mathcal{E}(z)/z)\mathcal{I}(-z)^{-1}$ により、非等面上限において $E$ の次数作用素が $B$ のそれへ還元されることが示された。
• 基底 $B$ の $\mathcal{D}_B^{\otimes |F|}$ と $E$ の $\mathcal{D}_E$ を結ぶループ群変換がVirasoro次数を保存することを示し、制約の同値性が確認された。
• この結果は、$\mathcal{I}$-関数とその漸近的挙動が鏡写像と整合することを仮定しているが、これは同一の $I_E$-関数からの構成によって保証される。