[論文レビュー] Virtual Control Contraction Metrics: Convex Nonlinear Feedback Design via Behavioral Embedding

Ruigang Wang, Roland Tóth+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2020

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 36被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ユーザー定義の参照軌道に対して、グローバル指数的安定性および $\mathcal{L}_2$-ゲイン性能を保証する凸非線形フィードバック設計手法、Virtual Control Contraction Metrics (VCCM) を導入する。非線形ダイナミクスを仮想系に埋め込み、状態依存の収縮計量を活用することで、厳密な安定性保証のもとで凸最適化に基づく制御合成が可能となり、局所的およびグローバルなLPV制御を統合する一方で、標準的なLPV実装における不安定化リスクを克服する。

ABSTRACT

This paper presents a systematic approach to nonlinear state-feedback control design that has three main advantages: (i) it ensures exponential stability and $ \mathcal{L}_2 $-gain performance with respect to a user-defined set of reference trajectories, and (ii) it provides constructive conditions based on convex optimization and a path-integral-based control realization, and (iii) it is less restrictive than previous similar approaches. In the proposed approach, first a virtual representation of the nonlinear dynamics is constructed for which a behavioral (parameter-varying) embedding is generated. Then, by introducing a virtual control contraction metric, a convex control synthesis formulation is derived. Finally, a control realization with a virtual reference generator is computed, which is guaranteed to achieve exponential stability and $ \mathcal{L}_2 $-gain performance for all trajectories of the targeted reference behavior. We show that the proposed methodology is a unified generalization of the two distinct categories of linear-parameter-varying (LPV) state-feedback control approaches: global and local methods. Moreover, it provides rigorous stability and performance guarantees as a method for nonlinear tracking control, while such properties are not guaranteed for tracking control using standard LPV approaches.

研究の動機と目的

• 非線形追従制御問題における標準的なLPV制御の安定性および性能保証の欠如に対処すること。
• 制御収縮計量（CCM）理論を、普遍的安定化にとどまらず、ターゲット固有の軌道族への一般化すること。
• 局所的およびグローバルなLPV制御アプローチを、単一の凸最適化フレームワークの下で統合すること。
• 指数的安定性および $\mathcal{L}_2$-ゲイン性能を保証する、経路積分に基づく構成的制御実装を提供すること。
• 従来のLPVゲインスケジューリングにおける動的変化とパrameter変動の隠れた結合による不安定化リスクを克服すること。

提案手法

• パラメータ変動を伴う埋め込みを用いて、非線形システムの仮想的表現を構築する。
• ユーザー定義の参照集合 $\mathcal{B}^*$ に対して指数的安定性および $\mathcal{L}_2$-ゲイン性能を誘導する仮想制御収縮計量（VCCM）を定義する。
• VCCM 上での状態依存線形汎関数不等式（LMIs）を用いて、凸制御合成定式化を導出する。
• 軌道依存のダイナミクスのずれを補償するため、仮想のリファレンスジェネレータおよびフィードフォワード制御則を設計する。
• すべての $\mathcal{B}^*$ 内の軌道に対して安定性および性能を保証する経路積分に基づく制御実装を実装する。
• 仮想コントローラーが正しいセットポイントを正しく安定化することを保証するため、条件C2を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユーザー定義の参照軌道族に対して、指数的安定性および $\mathcal{L}_2$-ゲイン性能を保証する凸非線形フィードバック設計を構築できるか？
• RQ2 制御収縮計量理論は、すべての可能な軌道ではなく、特定の軌道集合の追従といった弱安定化問題へどのように一般化できるか？
• RQ3 提案されたVCCMフレームワークは、局所的およびグローバルなLPV制御アプローチを統合するが、それぞれの安定性の落とし穴を回避する仕組みは何か？
• RQ4 LPVベースの制御実装が非線形追従制御問題に適用された際に、安定性および性能保証を維持するための条件は何か？
• RQ5 なぜ標準的なLPV実装はゼロでないセットポイントでは安定性および性能を保証できないのか、そしてその問題をどのように是正できるか？

主な発見

• VCCM手法は、標準的なLPV手法が失敗する場合でさえ、ユーザー定義の参照集合 $\mathcal{B}^*$ 内のすべての軌道に対してグローバル指数的安定性および $\mathcal{L}_2$-ゲイン性能を保証する。
• グローバルLPV制御における不安定化を、パrameter変動下での不一致ダイナミクスを補償するフィードフォワード項 $\kappa^{\mathrm{ff}}$ の導入によって克服する。
• 例題5は、標準的なグローバルLPV制御がゼロでないセットポイントでは誤った平衡点への収束や不安定化を引き起こす可能性があるのに対し、VCCMコントローラーは一貫して所望の軌道を安定化することを示している。
• VCCM合成は凸的であり、半定値計画法により計算可能であり、非線形システムの効率的なコントローラー設計を可能にする。
• 本手法は局所的およびグローバルなLPV制御を一般化し、より強い理論的保証を備えた統一フレームワークを提供する。
• 理論的解析により、条件C2が仮想コントローラーが正しいセットポイントを正しく安定化することを保証し、誤差ダイナミクスにおける $\Delta$-項による不安定化を排除することが示されている。