[論文レビュー] Virtual counts on Quot schemes and the higher rank local DT/PT correspondence

Sjoerd Viktor Beentjes, Andrea T. Ricolfi|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、滑らかな3次元多様体 $X$ 上の局所自由層 $\mathcal{F}$ に対する Quot スキーム $\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ が対称的かつ完全な障害理論を備えていることを証明することで、Gholampour–Kool の関数方程式に対する仮想的精錬を確立する。これにより、その仮想オイラー次元の計算が可能になる。さらに、Toda の高ランク DT/PT 対応を固定されたスロープ安定層を中心とする局所的設定に拡張し、Quot スキームの関数方程式と DT/PT の壁越え公式との間の形式的類似性を明確にする。

ABSTRACT

We show that the Quot scheme $ ext{Quot}_{\mathbf{A}^3}(\mathcal{O}^r,n)$ admits a symmetric obstruction theory, and we compute its virtual Euler characteristic. We extend the calculation to locally free sheaves on smooth $3$-folds, thus refining a special case of a recent Euler characteristic calculation of Gholampour-Kool. We then extend Toda's higher rank DT/PT correspondence on Calabi-Yau $3$-folds to a local version centered at a fixed slope stable sheaf. This generalises (and refines) the local DT/PT correspondence around the cycle of a Cohen-Macaulay curve. Our approach clarifies the relation between Gholampour-Kool's functional equation for Quot schemes, and Toda's higher rank DT/PT correspondence.

研究の動機と目的

• 局所自由の場合の Quot スキームに対する Gholampour–Kool の関数方程式の仮想的精錬を確立すること。
• Toda の高ランク DT/PT 対応を、固定されたスロープ安定層を中心とする局所的バージョンに拡張すること。
• Gholampour–Kool の Quot スキーム関数方程式と Toda の高ランク DT/PT 対応との間の形式的類似性を明確にすること。
• 滑らかな3次元多様体 $X$ 上の局所自由層 $\mathcal{F}$ に対する Quot スキーム $\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ の仮想オイラー次元を計算すること。
• 壁越え因子の幾何的解釈を、相対 Quot スキームと PT ペアのモジュライ空間の観点から与えること。

提案手法

• Quot スキーム $\operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^3}(\mathcal{O}^r,n)$ が臨界点集合であることを示し、対称的かつ完全な障害理論を備えていることを証明する。
• Behrend の仮想オイラー次元 $\widetilde{\chi}(Y) = \sum_k k \cdot \chi(\nu_Y^{-1}(k))$ を用いて、Quot スキーム上の仮想的数え上げを定義する。
• 相対 Quot スキームから PT ペアのモジュライ空間への写像 $\psi_{\alpha,n}$ を構成し、それが閉埋め込みであることを示す。
• 導来双対性と基底変換を用いて、$\mathscr{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{O}_X)$-商を導来三角形を通じて PT ペアと関連付ける。
• 価値的判定基準と $\mathbb{C}$-点における単射性を用いて、$\psi_{\alpha,n}$ の固有性と閉埋め込み性を証明する。
• 同型 $\mathbf{R}\mathscr{H}om(E,F) \cong \mathbf{R}\mathscr{H}om(F^\vee,E^\vee)$ を用いて、PT ペア三角形の導来双対を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gholampour–Kool の Quot スキーム関数方程式は、対称的障害理論を用いてどのように仮想的精錬に持ち上げられるか？
• RQ2 滑らかな3次元多様体 $X$ 上の局所自由層 $\mathcal{F}$ に対して、$\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ の仮想オイラー次元は何か？
• RQ3 Toda の高ランク DT/PT 対応は、固定されたスロープ安定層の周囲に局所化可能か？
• RQ4 高ランク設定における相対 Quot スキームと PT ペアのモジュライ空間との間にどのような幾何的関係があるか？
• RQ5 Toda の対応における壁越え因子は、Quot スキームの構造からどのように生じるか？

主な発見

• 滑らかな3次元多様体 $X$ 上のランク $r$ の局所自由層 $\mathcal{F}$ に対する Quot スキーム $\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ は、対称的かつ完全な障害理論を備えている。
• 仮想オイラー次元の母関数は $\sum_{n \geq 0} \widetilde{\chi}(\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)) q^n = \mathsf{M}((-1)^r q)^{r \chi(X)}$ である。ここで $\mathsf{M}(q)$ は MacMahon 関数である。
• 写像 $\psi_{\alpha,n} : Q(\alpha,n) \to M_{\operatorname{PT}}(r,D,-\beta)$ は閉埋め込みであり、幾何的双対性を確立する。
• PT ペアのモジュライ空間 $M_{\operatorname{PT}}(r,D,-\beta)$ は、$\mathscr{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{O}_X)$ の商をパラメトライズする相対 Quot スキームによる層状分離を備えている。
• 局所的高ランク DT/PT 対応は、Gholampour–Kool の関数方程式の仮想的精錬として実現され、壁越え因子は Quot スキームの仮想的構造から生じる。
• 結果として、ランク1の点寄与項の高ランク理論への一般化が得られ、MNOP 猜定の仮想的類似が得られる。