[論文レビュー] Virtual crystals and fermionic formulas of type $D_{n+1}^{(2)}$, $A_{2n}^{(2)}$, and $C_n^{(1)}$

Masato Okado, Anne Schilling+1 more|ArXiv.org|May 2, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的クリスタルの $A_{2n-1}$ への埋め込みを拡張することで、アフィン型 $D_{n+1}^{(2)}$、$A_{2n}^{(2)}$、$C_n^{(1)}$ の仮想クリスタルを導入し、それらが有限次元 $U_q'(rak{g})$-加群のクリスタル基底を実現すると予想する。また、道具として rigged configurations と対偶双対性を用いて、特定のケースにおける1次元配置和のフェルミオン的公式を証明し、仮想クリスタルと既知のフェルミオン的表現との間の関係を確立する。

ABSTRACT

We introduce ``virtual'' crystals of the affine types $g=D_{n+1}^{(2)}$, $A_{2n}^{(2)}$ and $C_n^{(1)}$ by naturally extending embeddings of crystals of types $B_n$ and $C_n$ into crystals of type $A_{2n-1}$. Conjecturally, these virtual crystals are the crystal bases of finite dimensional $U_q'(g)$-modules associated with multiples of fundamental weights. We provide evidence and in some cases proofs of this conjecture. Recently, fermionic formulas for the one dimensional configuration sums associated with tensor products of the finite dimensional $U_q'(g)$-modules were conjectured by Hatayama et al. We provide proofs of these conjectures in specific cases by exploiting duality properties of crystals and rigged configuration techniques. For type $A_{2n}^{(2)}$ we also conjecture a new fermionic formula coming from a different labeling of the Dynkin diagram.

研究の動機と目的

• 古典的クリスタルの $A_{2n-1}$ への埋め込みを拡張することで、アフィン型 $D_{n+1}^{(2)}$、$A_{2n}^{(2)}$、$C_n^{(1)}$ の仮想クリスタルを構成する。
• これらの仮想クリスタルが、基本ウェイトの倍数に関連する有限次元 $U_q'(\frak{g})$-加群のクリスタル基底を実現すると予想する。
• rigged configurations 手法と双対性を用いて、特定のケースにおける1次元配置和のフェルミオン的公式を証明する。
• 仮想クリスタルの古典的分解および構造的性質を検証することで、予想に対する証拠を提供する。

提案手法

• $B_n$ および $C_n$ クリスタルの既知の $A_{2n-1}$ クリスタルへの埋め込みを、有限アフィンクリスタルに拡張し、仮想クリスタル $V^{r,s}$ を定義する。
• rigged configuration 理論を用いて、仮想クリスタルの1次元配置和を分析する。
• 対偶双対性を適用し、仮想クリスタルの要素とその双対との関係を確立し、フェルミオン的公式と整合性を持つようにする。
• 逆アルゴリズムを rigged configurations に適用し、テンソル積の成分を再構成し、テーブル条件を検証する。
• $j_{r,1}^{-1} \circ \cdots$ および $i_{r,1}^{-1} \circ \cdots$ の作用を用いて特異ストリングを除去し、基本ケースに還元する。
• 得られた仮想クリスタルが、rigged configuration の双対写像の像に属するための必要条件を満たしていることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン型 $D_{n+1}^{(2)}$、$A_{2n}^{(2)}$、$C_n^{(1)}$ の仮想クリスタル $V^{r,s}$ は、有限次元 $U_q'(\frak{g})$-加群のクリスタル基底を実現するか？
• RQ2 仮想クリスタルの1次元配置和はフェルミオン的公式として表現可能か？
• RQ3 仮想クリスタル $V^{r,s}$ の古典的分解は、期待される $A_{2n-1}$-クリスタルへの既約分解と整合的か？
• RQ4 仮想クリスタルに関連する rigged configurations に対して、対偶双対性が成立するか？
• RQ5 仮想クリスタル $V^{r,1}$ を明示的に特徴づけ、フェルミオン的公式との比較を可能にすることができるか？

主な発見

• 型 $A_{2n}^{(2)}$、$A_{2n}^{(2)lat}$、$C_n^{(1)}$ の仮想クリスタル $V^{r,s}$ は、$s=1$ の場合に、予想されたクリスタル $B^{r,s}$ と同型であることが証明された。
• 型 $D_{n+1}^{(2)}$ において、すべての $s \geq 1$ に対して仮想クリスタル $V^{r,s}$ が、期待される古典的成分を少なくともそれだけ持つことが示された。
• $A_{2n}^{(2)}$ の場合、$V^{r,1}$ の1次元配置和は、Hatayama らが予想したフェルミオン的公式と一致した。
• 写像 $\overline{\phi} \circ \Psi_R$ が仮想クリスタルの像へ全射であることが示され、フェルミオン的表現と整合性があることが確認された。
• 対偶双対性と導かれた不等式 $u_{a+i-c} \leq n-c$ により、テーブルではない配置が生じないことが保証され、$(uv)|_{[n]}$ がテーブルである条件が満たされた。
• 証明により、$|u|_{[n]} - |v|_{[n]}| = n - r$ が成り立つことが示され、仮想クリスタル成分の正しい重み条件が満たされていることが確認された。