[論文レビュー] Virtual Element Methods for general second order elliptic problems on polygonal meshes

L. Beirão da Veiga, F. Brezzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多角形メッシュ上での変数係数を有する一般の2階楕円型問題に対して、正確な$L^2$-射影作用素を活用して最適収束性を維持する、新しい仮想要素法（VEM）を提案する。従来のVEMとは異なり、ラプラシアンに対する古典的手法に還元されず、多様な多角形メッシュ、特に著しく歪んだ要素を含むものにおいて、$L^2$および$H^1$ノルムにおけるロバストで最適な$h$収束性を示す。

ABSTRACT

We consider the discretization of a boundary value problem for a general linear second-order elliptic operator with smooth coefficients using the Virtual Element approach. As in [59] the problem is supposed to have a unique solution, but the associated bilinear form is not supposed to be coercive. Contrary to what was previously done for Virtual Element Methods (as for instance in [9]), we use here, in a systematic way, the L^2-projection operators as designed in [1]. In particular, the present method does not reduce to the original Virtual Element Method of [9] for simpler problems as the classical Laplace operator (apart from the lowest order cases). Numerical experiments show the accuracy and the robustness of the method, and they show as well that a simple-minded extension of the method in [9] to the case of variable coefficients produces, in general, sub-optimal results.

研究の動機と目的

• 変数係数を有する一般の2階楕円型問題への仮想要素法の拡張に向けた挑戦に応えること。ここでは、従来の手法が最適性を失う可能性がある。
• 双線形形式が強収縮的でない場合でも、最適収束レートを維持する体系的な枠組みを構築すること。
• 任意の多角形メッシュ、特に著しく歪んでもしくは非凸な要素を含むものにおいても、ロバスト性と精度を確保すること。
• 古典的VEMを変数係数に単純に拡張した場合、特に高次において最適収束性が保たれないことの実証。
• VEM解を多項式空間上に$L^2$-射影することにより、内部点における解値の信頼性ある計算手法を提供すること。

提案手法

• 滑らかで変数係数を有する一般線形2階楕円型作用素のための変分形式を定式化する。
• 多項式空間への$L^2$-射影作用素を主要構成要素として用いる安定化VEM定式化を導入する。
• 正確な多項式次数の$L^2$-射影と安定化項を組み合わせて、離散双線形形式$B_h(\cdot, \cdot)$を定義する。
• VEM解の$L^2$-射影$Π^0_k p_h$を用い、内部点における点ごとの誤差、特に正確な解の最大点を評価する。
• 補間誤差および射影誤差の境界を用いた事前誤差推定を確立し、$∥p - p_h\u2225_0 \leq C h^{k+1}(\|p\|_{k+1} + |f|_k)$を示す。
• 射影フレームワークにより一貫性および安定性項を制御することで、手法の一貫性と安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想要素法を、変数係数を有する一般の2階楕円型問題に体系的に拡張することは可能か。この際、最適収束性が維持されるか。
• RQ2 VEM定式化において$L^2$-射影作用素を用いることで、定数係数用に設計された手法を変数係数に拡張する際に、最適収束性が損なわれることを防げるか。
• RQ3 本手法は、著しく歪んでもしくは非凸な多角形メッシュ上でも、標準FEMと比較してどのように性能を発揮するか。
• RQ4 解が要素内で明示的に与えられていない場合、内部点におけるVEM解の精度はどの程度か。
• RQ5 元のVEM（例：[9]）を変数係数に単純に拡張した場合、高次においても最適収束性が維持されるか。

主な発見

• 提案手法は、$L^2$および$H^1$ノルムにおいて最適$h$収束性を達成し、多項式次数$k$に対して収束次数$k+1$を示す。数値実験により確認された。
• $k=1$の場合、ランダムボロノイ、Lloyd-100（CVT）、正方形、凹型メッシュを含むすべてのメッシュタイプで最適収束性を示す。
• $k=4$の場合、$L^2$および$H^1$ノルムにおいても最適収束性を維持するが、単純な拡張（4.18）は著しい収束次数の低下を示す。
• VEM解を$ℝ_k$上に$L^2$-射影することで、内部点における解の近似が高精度で得られ、正確な解の最大点に対しても良好な近似が得られる。
• 数値結果により、ロバスト性が確認された。著しく歪んだ非凸多角形要素に対しても良好な性能を示し、メッシュ形状に依存しない。
• 本手法は、ラプラシアンに対する[9]の元来のVEMに還元されない。これは、より一般で明確に異なる定式化であることを示している。