[論文レビュー] Virtual Elements for the Navier-Stokes problem on polygonal meshes

L. Beirão da Veiga, Carlo Lovadina+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般の多角形メッシュ上で2次元ナビエ-ストークス方程式に適したバーチャルセルメソッド（VEM）の族を提案する。離散速度空間を発散自由に保ち、非線形対流項を扱うために多項式次数の拡張を施す。この手法は最適収束率を達成し、非一致メッシュ、特に結合 Stokes-Darcy 問題においても頑健な性能を示す。その理由は、点ごとの発散自由な速度と対角行列構造の剛性行列に起因する。

ABSTRACT

A family of Virtual Element Methods for the 2D Navier-Stokes equations is proposed and analysed. The schemes provide a discrete velocity field which is point-wise divergence-free. A rigorous error analysis is developed, showing that the methods are stable and optimally convergent. Several numerical tests are presented, confirming the theoretical predictions. A comparison with some mixed finite elements is also performed.

研究の動機と目的

• 一般の多角形メッシュ上での2次元ナビエ-ストークス方程式に適した適合的で発散自由なバーチャルセルメソッドの開発。
• 非線形対流項の挑戦に応じて、適切な射影子と拡張された離散速度空間を導入することで対処する。
• VEMフレームワークに特化した厳密な誤差解析を通じて、安定性と最適収束を保証する。
• 非適合および多面体メッシュを含む複雑なメッシュ構成の処理における手法の頑健性と柔軟性を示す。
• 特に独立メッシュを用いた結合 Stokes-Darcy 流れ問題において、数値的妥当性を検証する。

提案手法

• 速度のためのバーチャルセル空間を採用し、点ごとの発散自由な離散解を保証する自由度を備える。
• 対流項の3次形式は、射影子による非対称性の影響を受けるものの、安定性を保つために歪対称型に近似する。
• 非線形項の処理に射影子に基づくアプローチを用い、形状関数の点ごとの知識がなくても剛性行列の計算が可能になる。
• 圧力は、要素間連続性を要しない局所多項式で近似する。
• 圧力-速度結合行列に対角構造を活用することで、静的縮約なしに効率的な解法戦略が可能になる。
• 混合有限要素法によるストークス問題との滑らかな結合が可能であり、独立メッシュを用いたダルシー-ストークス界面問題への応用も可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーチャルセルメソッドは、多角形メッシュ上でも発散自由な速度近似を保ちながら、非線形ナビエ-ストークス方程式へ拡張可能か？
• RQ2 3次形式の選択（標準型対歪対称型）は、VEMのナビエ-ストークス方程式における安定性と収束性にどのように影響するか？
• RQ3 発散自由性は、小さな粘性係数や結合流れ問題において、どの程度頑健性を向上させるか？
• RQ4 ハングノードを含む非適合多角形メッシュ、および異なるサブドメインで独立したメッシュ分割が可能なVEMフレームワークは、対応可能か？
• RQ5 複雑な幾何形状や界面問題において、この手法は最適収束率と精度を維持するか？

主な発見

• 提案手法は、構造的および非構造的多角形メッシュ上での数値的検証により、速度場および圧力場の両方で最適収束率を達成している。
• 点ごとの発散自由性のおかげで、離散圧力とはほとんど分離された速度誤差が得られ、低粘性領域における頑健性が向上している。
• 異なるメッシュ分割（例：ダルシー領域で三角形、ストークス領域で正方形）を用いた独立メッシュでも、最適収束が維持されることを示し、マルチフィジックス結合における頑健性を実証した。
• 境界に沿ったフラックスは、粗いメッシュでも相対誤差が1%未満で、2次精度で基準解に収束する。
• 圧力-速度剛性行列に対角構造を有するため、内部自由度を静的縮約なしに削除可能であり、効率的な解法戦略が可能である。
• 特に静水圧およびダルシー-ストークス問題において、標準混合有限要素法に比べて速度の精度と頑健性が優れている。