[論文レビュー] Virtual pullbacks in $K$-theory

F. Qu|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は代数的スタックにおけるK理論における仮想プルバックを確立し、それが双変クラスを生じ、関手的性質を満たすことを証明する。これらの道具を用いて、スキームにおけるK理論的仮想局在化公式と、ドナルドソン＝トーマス理論における退化公式を証明する。変形空間と完全な障害理論を用いて、古典的な結果をチャウ群からK理論へ拡張する。

ABSTRACT

We consider virtual pullbacks in $K$-theory, and show that they are bivariant classes and satisfy certain functoriality. As applications to $K$-theoretic counting invariants, we include proofs of a virtual localization formula for schemes and a degeneration formula in Donaldson-Thomas theory.

研究の動機と目的

• チャウ群における既存の結果に類似した、代数的スタックにおけるK理論的仮想プルバックの理論を構築すること。
• K理論的仮想プルバックが双変クラスを生じ、関手的性質を満たすことを証明すること。
• 変形空間の技法を用いて、スキームにおけるK理論的仮想局在化公式を確立すること。
• 仮想プルバックをK理論で用いて、ドナルドソン＝トーマス理論における退化公式を導出すること。
• 双変な道具立てと完全な障害理論を用いて、サイクルレベルの公式をK理論的不変量へ拡張すること。

提案手法

• 変形空間 $M^\bullet_f$ を $Π^1$ 上にとり、法コーン $C_f$ 沿いのプルバックとプッシュフォワードにより仮想プルバックを定義する。
• 法コーンへの変形写像 $\sigma_f: A(Y) \to A(C_f)$ を適用し、一貫性のある層を介して $K_0$ へと上げる。
• 仮想プルバック $f^!$ を $A(Y) \xrightarrow{\sigma_f} A(C_f) \xrightarrow{\iota_*} A(\mathfrak{E}_f) \to A(X')$ の合成として構成する。ここで $\mathfrak{E}_f$ はベクトルスタックである。
• Kreschによるアーチンスタックへのチャウ群の拡張と、完全な障害理論の理論を用いて、代数的スタックへ一般化する。
• [3] の双変クラス形式的と、[18, 系1] を介して [27] の関手的性質をK理論へ適応する。
• [5] の手法を用いて仮想局在化公式を証明し、[24, 26] の議論を適応してDT理論における退化公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K理論における仮想プルバックはどのように定義され、双変性と関手的性質を満たすことが示せるか？
• RQ2 変形空間を用いて、チャウ群からK理論へスキームの仮想局在化公式を拡張できるか？
• RQ3 ドナルドソン＝トーマス理論における退化公式はK理論でも成り立つのか？また、仮想プルバックからどのように導出できるか？
• RQ4 完全な障害理論は、代数的スタックにおけるK理論的仮想プルバックの構成において果たす役割は何か？
• RQ5 仮想プルバックは、K理論的設定において、適切なプッシュフォワードと平坦なプルバックとどのように相互作用するか？

主な発見

• K_0 における仮想プルバックが双変クラスであることが示され、双変形式的がK理論へ一般化された。
• 完全な障害理論と変形空間の構成との整合性を介して、仮想プルバックの関手的性質が確立された。
• [5] の手法を用いて、スキームにおけるK理論的仮想局在化公式が証明され、サイクルレベルのバージョンが $K_0$ へ拡張された。
• ドナルドソン＝トーマス理論における退化公式が $K_0$ で導出され、$\sum_{k=0}^\infty \sum_{\delta: P(\delta)=P, k(\delta)=k} (-1)^k (\iota_\delta)_* \mathcal{O}_{\mathcal{M}_\delta}^{\mathrm{vir}} = \mathcal{O}_{\mathcal{M}_0^P}^{\mathrm{vir}}$ が $K_0(\mathcal{M}_0^P)$ 内で成り立つ。
• 変形不変性が成り立つ：$c \neq 0$ に対して $i_c^! \mathcal{O}_{\mathcal{M}^P}^{\mathrm{vir}} = \mathcal{O}_{\mathcal{M}_c^P}^{\mathrm{vir}}$ であり、滑らかなファイバーと整合的であることが確認された。
• $\mathfrak{C}_0$ が擬コンパクトでなくても構築可能であり、$\mathcal{M}_0^P$ の有界性と第2.6.1節における仮想プルバックに依存している。