[論文レビュー] Virtual strings and their cobordisms

Vladimir Turaev|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、曲面上の曲線の自己交差を組合せ的モデルとして表す仮想的ストリングを導入し、特に多項式 $ u $ とベース行列を用いた代数的不変量を発展させ、それらのホモトピー型およびコボルディズム型を研究する。ホモトピー不変量の群が無限次元リー群をなすことが示され、ホモトピー型の自由アーベル群にリー余代数構造（リー余ブラケット）を構成し、スケイン代数およびホップ代数構造を通じて仮想的ストリングと仮想的ねじれ結び目を結びつける。

ABSTRACT

A virtual string is a scheme of self-intersections of a closed curve on a surface. We study algebraic invariants of strings as well as two equivalence relations on the set of strings: homotopy and cobordism. We show that the homotopy invariants of strings form an infinite dimensional Lie group. We also discuss connections between virtual strings and virtual knots.

研究の動機と目的

• 仮想的ストリングを、曲面上の曲線の自己交差を表す組合せ的対象として形式化すること。
• 代数的不変量を用いて仮想的ストリング上のホモトピーおよびコボルディズム同値関係を定義し、それらを研究すること。
• 仮想的ストリングのホモトピー不変量の群にリー代数およびリー群構造を確立すること。
• スケイン代数の同型を介して仮想的ストリングと仮想的ねじれ結び目を結びつける多項式不変量を用いること。
• 多項式 $ u $ およびベース行列を用いたスライス性の障害を発展させ、3次元多様体トポロジーとの関係を検討すること。

提案手法

• ランク $ m $ の仮想的ストリングを、$ 2m $ 個の異なる点に分けられた向き付けられた円板とし、それらを $ m $ 個の順序付きペア（矢印）として表すことで、自己交差を表現する。
• ストリングのベース行列から導かれる多項式不変量 $ u $ を導入し、ホモトピーおよびコボルディズムの障害を検出する。
• ホモトピー型のストリング生成の自由アーベル群に、ホモトピー不変量上のリー代数構造を双対化するリー余ブラケットを構成する。
• 境界を持つ3次元多様体を用いてストリングのコボルディズムを定義し、特異なディスクを合同な3次元多様体内で境界づけるストリングをスライスストリングと呼ぶ。
• ベース行列 $ T(eta) = (G, s, b) $ を用いて genus およびスライス性の障害を定義し、$ |b(e,f)| \leq \#(G) - 2 $ を制約条件とする。
• 開ストリングのモジュールに、閉ストリングのリー余代数上でのコモジュール構造を構成し、$ R \supset \mathbb{Q} $ のとき $ \operatorname{Exp}\mathcal{A}^* $ による群作用（代数自己同型）を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの原始的ベース行列が、ある仮想的ストリング $ \alpha $ に対して $ T_{\bullet}(\alpha) $ として実現可能であり、どのような制約が存在するか？
• RQ2 双曲的ベース行列をもつ非スライスストリングを、二次的障害が検出可能か？
• RQ3 すべてのスライスストリングは安定的にリボン的か、すなわちスライスストリングとリボンストリングの積がリボンストリングにホモトープか？
• RQ4 すべての仮想的ストリングは、ある置換 $ \sigma $ に対して型 $ \alpha_\sigma $ のストリングにホモトープか、あるいはコボルディズムに関してそうか？
• RQ5 開ストリングの積はホモトピー的、あるいはコボルディズムに関して可換か？

主な発見

• 仮想的ストリングの $ \mathbb{Z} $-値ホモトピー不変量の群はリー代数をなし、これは無限次元リー群に統合可能である。
• 仮想的ストリングのホモトピー型生成の自由アーベル群には自然なリー余ブラケットが存在し、これによりリー余代数構造が得られる。
• 仮想的ねじれ結び目のスケイン代数は、ホモトピー型の仮想的ストリングの生成に生成される多項式代数と同型であり、$ \mathbb{Q}[z] $-係数への写像を通じて実現される。
• ストリングが特異なディスクを合同な3次元多様体内で境界づけるとき、それはスライスである。スライス性の障害は多項式 $ u $ およびベース行列不変量によって与えられる。
• 開仮想的ストリングのモジュールは、閉ストリングのリー余代数上にコモジュール構造を持ち、$ R \supset \mathbb{Q} $ のとき群 $ \operatorname{Exp}\mathcal{A}^* $ が代数自己同型として作用する。
• 本構成により、曲面の円筒上の結び目のホメオモーティズム不変量が $ \mathbb{Q}[z,t] $ に値をとるものとして得られ、古典的不変量を一般化する。