[論文レビュー] Virtually splitting the map from Aut(G) to Out(G)

Mathieu Carette|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自然な写像 Aut(G) → Out(G) がほぼ分解することの十分条件を確立している。その条件とは、G に中心化子が有限である almost stabilizer (AS) 部分群が存在することである。この条件を、残留有限な CAT(0) 群および双曲群に適用し、特に有限生成コクセター群に対して、この写像がほぼ分解することを示している。主な結果として、有限生成コクセター群に対して、この写像がほぼ分解することを示し、その結果、Out(G) が残留有限かつほぼ torsion-free であることが導かれる。

ABSTRACT

We give an elementary criterion on a group G for the map from Aut(G) to Out(G) to split virtually. This criterion applies to many residually finite CAT(0) groups and hyperbolic groups, and in particular to all finitely generated Coxeter groups. As a consequence the outer automorphism group of any finitely generated Coxeter group is residually finite and virtually torsion-free.

研究の動機と目的

• 有限生成で残留有限な群 G に対して、自然な写像 Aut(G) → Out(G) がほぼ分解する条件を特定すること。
• 写像 Aut(G) → Out(G) がほぼ分解する場合、外自己同型群 Out(G) が残留有限であることを確立すること。
• この基準を特に有限生成コクセター群およびねじれを含む CAT(0) 群のクラスに適用すること。
• 任意の有限生成コクセター群の外自己同型群が残留有限かつほぼ torsion-free であることを示すこと。
• 群の CAT(0) 空間への作用に伴う固定点集合が有界であるという幾何的条件に基づき、ほぼ分解の基準を提示すること。

提案手法

• G に含まれる AS (almost stabilizer) 部分群 H を導入する。ここで H は有限であり、中心化子も有限であり、CAT(0) 空間における H の固定点集合は有界である。
• このような AS 部分群 H の存在をもとに、Out(G) の有限索引部分群から Aut(G) へのほぼ切断を構成し、写像がほぼ分解することを保証する。
• Malcev の定理（線形性と残留有限性）を用い、ねじれを含む一関係関係群が残留有限であり、AS 条件を満たすことを示す。
• Bass-Serre 理論および JSJ 分解を用いて、双曲群における JSJ 樹の作用における頂点の安定化子を用い、AS 部分群を同定する。
• Wise の研究により、有限生成コクセター群が ℤ 上で線形的であることを用い、残留有限性を保証し、主要な基準を適用する。
• コクセター群における最大有限部分群が有効な AS 部分群として機能することを証明し、これにより Aut(G) → Out(G) のほぼ分解が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成で残留有限な群 G に対して、写像 Aut(G) → Out(G) がほぼ分解する条件は何か？
• RQ2 写像 Aut(G) → Out(G) がほぼ分解する場合、外自己同型群 Out(G) が残留有限であることを示せるか？
• RQ3 有限生成コクセター群は AS 部分群の基準を満たすか？ そして、これは自己同型写像のほぼ分解を意味するか？
• RQ4 ねじれを含む双曲群および CAT(0) 群に対して、有限部分群の固定点集合に幾何的条件を課すと、ほぼ分解が保証されるか？
• RQ5 ねじれを含む一関係関係群の外自己同型群は残留有限か？ また、その自己同型写像はほぼ分解可能か？

主な発見

• G に中心化子が有限で、有限部分群の共轭類が有限個であるような有限部分群 H が存在する場合、写像 Aut(G) → Out(G) はほぼ分解する。
• 任意の有限生成コクセター群 G に対して、写像 Aut(G) → Out(G) はほぼ分解する。したがって、Out(G) は残留有限である。
• Out(G) は残留有限であるだけでなく、任意の有限生成コクセター群 G に対してほぼ torsion-free である。
• G が有限生成コクセター群である場合、Out(G) はすべての有限個を除く素数 p に対して、ほぼ残留 p である。
• この基準は、CAT(0) 空間における固定点集合が有界である有限部分群 H を持つ、すべての残留有限な CAT(0) 群に適用可能である。
• ねじれを含む一関係関係群は AS 基準を満たし、したがって Aut(G) → Out(G) はほぼ分解可能であり、Out(G) は残留有限である。