[論文レビュー] Viscoelastic scaling regimes for marginally-rigid fractal spring networks

David Head|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2022

Advanced Materials and Mechanics参考文献 50被引用数 6

ひとこと要約

本研究では、Sierpinski三角形に基づく境界がわずかに剛性なフラクタルスプリングネットワークにおける viscoelastic スケーリングを、行列式ソルバーを用いて複素モジュラススペクトル G∗(ω) を計算することで調査した。2つの異なるスケーリング領域が特定された：低周波数域では、境界のわずかさに起因する ∆ ≈ 1/2、中間周波数域では、フラクタルのスペクトル次元と整合する ∆′ = (ln 3 − ln 2)/(ln 3 + ln 2) ≈ 0.241 であり、系のサイズに依存するクロスオーバー周波数は拡散的分散を示唆している。

ABSTRACT

A family of marginally-rigid (isostatic) spring networks with fractal structure up to a controllable length was devised and the viscoelastic spectra $G^{*}(\omega)$ calculated. Two non-trivial scaling regimes were observed, (i)~$G^{\prime}\approx G^{\prime\prime}\propto\omega^{\Delta}$ at low frequencies, consistent with $\Delta=1/2$; (ii)~$G^{\prime}\propto G^{\prime\prime}\propto\omega^{\Delta^{\prime}}$ for intermediate frequencies corresponding to fractal structure, consistent with a theoretical prediction $\Delta^{\prime}=(\ln3-\ln2)/(\ln3+\ln2)$. The cross-over between these two regimes occurred at lower frequencies for larger fractals in a manner suggesting diffusive-like dispersion. Solid gels generated by introducing internal stresses exhibited similar behaviour above a low-frequency cut-off, indicating the relevance of these findings to real-world applications.

研究の動機と目的

• トポロジー的変化が存在しない場合に広範なべき則的 viscoelastic スケーリングが生じる原因を理解すること。
• 両者を併せ持つモデル系を構築することで、フラクタル構造と境界のわずかさがべき則的 rheology に与える寄与を分離すること。
• フラクタル幾何学が、実際のソフト材料で観察されるように ∆ < 1/2 の非自明なスケーリング指数を単独で生じさせ得るかを同定すること。
• 系のサイズと構造的長尺度が、異なる viscoelastic スケーリング領域間のクロスオーバーをどのように制御するかを調査すること。

提案手法

• 座標数 z = 4 の、境界のわずかさの転移点に位置する、熱的でない等ストラススプリングネットワークを構築した。
• 三角形サブユニットの再帰的分割により、制御可能な長尺度までフラクタル構造を設計し、最小の三角形まで自己同様性を保持した。
• 広い周波数範囲 ω における複素モジュラス G∗(ω) = G′(ω) + iG′′(ω) の計算に、行列式反復ソルバーを適用した。
• アフィン流体の抗力とHookeの法則に従うスプリングの弾性力の両方を含む力のバランス方程式を用い、ヘッセ行列がスプリングの剛性と方向性を符号化した。
• 自然なスプリング長にランダムなガウス摂動を導入し、FIREアルゴリズムを用いて静的平衡状態を解いた。
• 周波数領域にわたる G′(ω) と G′′(ω) のスケーリング行動を分析し、べき則的指数 ∆ と ∆′ を特定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラクタル構造が、トポロジー的緩和や鎖のダイナミクスとは独立して、∆ < 1/2 の viscoelastic スケーリングを生じさせ得るか？
• RQ2 境界がわずかに剛性なネットワークで観察される低周波数域の ∆ ≈ 1/2 スケーリング領域の起源は何か？
• RQ3 低周波数域と中間周波数域のスケーリング領域のクロスオーバー周波数は、最大フラクタル長尺度にどのように依存するか？
• RQ4 固体ゲルに内蔵された応力は、熱的でないフラクタルネットワークの viscoelastic 応答をどの程度模倣するか？

主な発見

• 2つの異なる viscoelastic スケーリング領域が観察された：低周波数域では、G′ ≈ G′′ ∝ ω^(1/2) であり、境界のわずかさに起因し、フラクタル構造とは無関係であった。
• 中間周波数域では、G′ ∝ G′′ ∝ ω^∆′ で、∆′ = (ln 3 − ln 2)/(ln 3 + ln 2) ≈ 0.241 であり、Sierpinski三角形のスペクトル次元の理論的予測と一致した。
• 2つの領域間のクロスオーバー周波数は、最大フラクタル長の増加に伴い減少し、リラクゼーション時間の拡散的分散を示唆した。
• 内部応力を持つ固体ゲルは、低周波数カットオフを超えて、同様のスケーリング行動を示した。これは、実際のソフト材料に実用的関連性を持つことを示した。
• 低周波数域の ∆ ≈ 1/2 スケーリングは、熱的Rouseモードや結合の解体とは無関係であり、境界のわずかさに起因する、独立した物理的メカニズムであると特定された。
• 中間周波数域のスケーリング ∆′ ≈ 0.241 は、熱的またはトポロジー的効果とは無関係に、フラクタル幾何学とスペクトル次元に強く関連しており、頑健であった。