[論文レビュー] Viscosity Solution for Optimal Stopping Problems of Feller Processes

Suhang Dai, Olivier Menoukeu Pamen|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のFeller過程によって駆動される最適停止問題におけるハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式の粘性解の存在および一意性を確立する。生成子に特定の形を仮定しない。Feller半群の性質とペナルティ法を活用し、価値関数が一意な粘性解であることを証明する。これにより、先行研究における予想が解決され、拡散過程に係数が区分的であるものや半マルコフ過程といった、これまで十分に研究されていなかった過程への応用が可能になる。

ABSTRACT

We study an optimal stopping problem when the state process is governed by a general Feller process. In particular, we examine viscosity properties of the associated value function with no a priori assumption on the stochastic differential equation satisfied by the state process. Our approach relies on properties of the Feller semigroup. We present conditions on the state process under which the value function is the unique viscosity solution to an Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation associated with a particular operator. More specifically, assuming that the state process is a Feller process, we prove uniqueness of the viscosity solution which was conjectured in [26]. We then apply our results to study viscosity property of optimal stopping problems for some particular Feller processes, namely diffusion processes with piecewise coefficients and semi-Markov processes. Finally, we obtain explicit value functions for optimal stopping of straddle options, when the state process is a reflected Brownian motion, Brownian motion with jump at boundary and regime switching Feller diffusion, respectively (see Section 8).

研究の動機と目的

• 対象となる過程が一般のFeller過程である場合の最適停止問題における粘性解の存在および一意性を確立すること。
• Feller半群の文脈において、[26]で提起された粘性解の一意性に関する予想を解消すること。
• 生成子が明示的に微分作用素でないような広範なマルコフ過程クラスに適用可能な一般的な解析的枠組みを提供すること。
• 係数が区分的な拡散過程や半マルコフ過程といった、最適停止文献において未だ十分に研究されていない過程に対しても、粘性解理論を拡張すること。
• 反射ブラウン運動やレジームスイッチング拡散過程を含む特定のFeller拡散過程下でのストラドル・オプションの明示的価値関数を導出すること。

提案手法

• 微分作用素に直接依存しないように、滑らかな関数による価値関数の近似にペナルティ法を用いる。
• 拡張された過程の無限小生成子を、一点コンactification空間上でのFeller半群構造を用いて定義する。
• 摂動論を用いて、1次元の半マルコフ過程を解析可能となる2次元マルコフ過程に変換する。
• 生成子のコア性および定義域の同値性を証明することで、価値関数がHJB方程式の一意な粘性解であることを確立する。
• 半群作用の極限によって定義される、$\mathcal{C}(\mathsf{E}_\partial)$ 上の拡張生成子 $\tilde{\mathcal{L}}$ を用いて、HJB作用素を特徴付ける。
• 収束性および粘性解の適切な定義を保証するため、$D(\tilde{\mathcal{G}})$ が $D(\tilde{\mathcal{L}})$ 内でコアをなすことを根拠とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Feller過程の最適停止問題における価値関数が、関連するHJB方程式の一意な粘性解である条件は何か？
• RQ2 微分作用素としての生成子が存在しない状況でも、半群の性質のみに依存して粘性解の一意性を確立できるか？
• RQ3 一般のFeller過程の文脈において、ペナルティ法をどのように変更すれば価値関数への収束を保証できるか？
• RQ4 係数が区分的な拡散過程や半マルコフ過程の最適停止問題における粘性解の性質は何か？
• RQ5 反射ブラウン運動やレジームスイッチング拡散過程といった特定のFeller拡散過程下で、ストラドル・オプションの明示的価値関数を導出できるか？

主な発見

• Feller過程の最適停止問題における価値関数は、HJB方程式の一意な粘性解である。これは[26]における予想を解決する。
• 拡張された過程の無限小生成子 $\tilde{\mathcal{L}}$ は、$D(\tilde{\mathcal{L}}) = \{ w \in \mathcal{C}(\mathsf{E}_\partial) \mid (w - w(\partial))|_\mathsf{E} \in D(\mathcal{L}) \}$ を満たし、定義域の同値性が確立される。
• $\tilde{\mathcal{L}}$ の $D(\tilde{\mathcal{G}})$ への制限は適切に定義されており、$\tilde{\mathcal{L}}$ のコアをなすため、近似の収束性が保証される。
• 係数が区分的な拡散過程では、命題7.9および7.10で示されるように、特定の作用素を持つHJB方程式の粘性解として価値関数が得られる。
• 半マルコフ過程では、摂動論を用いて過程を2次元マルコフ過程に変換した後、価値関数が一意な粘性解であることが示される。
• 第8節では、反射ブラウン運動、境界ジャンプを伴うブラウン運動、レジームスイッチングFeller拡散過程下でのストラドル・オプションの明示的価値関数が導出される。