[論文レビュー] Viscosity Solutions of Systems of Variational Inequalities with Interconnected Bilateral Obstacles

Boualem Djehiche, Said Hamad egrave ne+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、状態に依存するスイッチングコストを伴う2人零和スイッチングゲームをモデル化する、相互に連結された二重障害を有する2階変分不等式系に対して、多項式成長を有する連続なバナディティス解の存在および一意性を確立する。ペナルティ付き後向き確率微分方程式（BSDE）および確率的アプローチを用いて、Perronの方法により副解および超解を構成し、独自の比較原理を用いて一意性を証明することで、従来の確率的制御における相互依存的障害を伴う長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study a general class of nonlinear second-order variational inequalities with interconnected bilateral obstacles, related to a multiple modes switching game. Under rather weak assumptions, using systems of penalized unilateral backward SDEs, we construct a continuous viscosity solution of polynomial growth. Moreover, we establish a comparison result which in turn yields uniqueness of the solution.

研究の動機と目的

• 2人零和スイッチングゲームに由来する、相互に連結された二重障害を有する変分不等式系に対して、連続なバナディティス解の存在および一意性を確立すること。
• 文献における標準的な存在・一意性結果が複雑化する状態に依存するスイッチングコストの課題に対処すること。
• ペナルティ付き反射BSDEを用いた確率的枠組みを構築し、確率的表現とPDE系を結びつけること。
• 解に依存する障害を有するBSDEに対して、標準的な条件（例：Mokobodski条件や厳密分離）が成立しないという欠如を克服すること。
• 有界領域における楕円型系に関する先行結果を、多項式成長解を有する全空間 ℝᵏ に拡張すること。

提案手法

• 標準的なスイッチング問題に関連するペナルティ付き反射BSDEの系列を用いて、増加および減少の2つの近似スキームを構築する。
• Feynman-Kacの公式を用いて、ペナルティ付きBSDEの解とペナルティ付きPDEの解を結びつけ、バナディティス副解および超解の構成を可能にする。
• バナディティス副解および超解の間の比較原理を確立し、多項式成長を有する連続関数のクラスにおける解の一意性を保証する。
• Perronの方法を用いて、ある超解によって上から有界なすべての副解の点毎の上界としてバナディティス解を構成する。
• 減少ペナルティスキームの極限が、一意性結果を活用して唯一のバナディティス解として特定されることを示す。
• 後向きSDEおよびバナディティス理論の技術を適応し、解に依存する障害を扱うという、フレームワークにおける主な新規性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全状態空間 ℝᵏ において、相互に連結された二重障害を有する変分不等式系に対して、多項式成長を有する連続なバナディティス解を構成可能か？
• RQ2 障害が解に依存する場合でさえ、標準的条件（例：Mokobodski条件）が成立しない場合に、このような系に対して比較原理が成立するか？
• RQ3 関連する反射BSDE系に標準的な存在・一意性条件が欠如する場合、ペナルティスキームを用いて解が得られるか？
• RQ4 係数およびスイッチングコストに対する弱い仮定のもとで、多項式成長を有する連続関数のクラスにおける解の一意性は保証されるか？
• RQ5 障害が相互に依存的かつ解に依存する場合に、Perronの方法を適応して解を構成可能か？

主な発見

• 係数およびスイッチングコストに対してやや弱い仮定のもとで、全空間 ℝᵏ において、変分不等式系は一意な連続なバナディティス解（多項式成長を有する）を有する。
• 解の一意性を保証する比較原理が、この系に対して確立された。
• 反射BSDEを用いたペナルティスキームにより解が構成され、このスキームの減少極限が唯一のバナディティス解として特定された。
• Mokobodski条件や障害の厳密分離といった標準的条件の必要性を回避することができ、これは解に依存する障害のため成立しない。
• ペナルティ過程において解は安定であり、極限が連続的かつ多項式成長を有することが示された。
• 解の下位包のための双対な変分不等式系が特定され、その唯一の解も連続的かつ多項式成長を有する。