[論文レビュー] Viscosity Solutions to First Order Path-Dependent HJB Equations

Jianjun Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2020

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ひとこと要約

本稿は、経路に依存するSDEの最適制御に現れる1階の経路に依存するハミルトン・ジャコビ・ベルマン（PHJB）方程式に対して、粘性解の枠組みを導入する。係数のリプシッツ連続性の仮定の下で、最適制御問題の価値汎関数がPHJB方程式の唯一の粘性解であることが確立され、古典的解との一貫性および経路空間の摂動に対する安定性が示されている。

ABSTRACT

In this article, a notion of viscosity solutions is introduced for first order path-dependent Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations associated with optimal control problems for path-dependent differential equations. We identify the value functional of the optimal control problems as a unique viscosity solution to the associated HJB equations. We also show that our notion of viscosity solutions is consistent with the corresponding notion of classical solutions, and satisfies a stability property.

研究の動機と目的

• 1階の経路に依存するハミルトン・ジャコビ・ベルマン（PHJB）方程式に対して、厳密な粘性解の概念を構築すること。
• 制御された経路に依存するSDEの価値汎関数が、関連するPHJB方程式の唯一の粘性解として特徴付けられることを示すこと。
• 適切な正則性条件の下で、粘性解と古典的解との一貫性を保証すること。
• 経路空間の位相における収束に関して、粘性解の概念の安定性を確立すること。
• 無限次元の経路空間およびessentially normの非微分可能性に起因する課題に対処すること。

提案手法

• 経路空間 Λ 内で水平微分と垂直微分（デュプリール型）を用いた粘性解の概念を導入する。
• PHJB方程式のハミルトニアン H(γₜ, p) = infᵤ[(p, F(γₜ, u)) + q(γₜ, u)] を定義する。
• 経路空間上のノルム ||·||₀ に関して、F, q, φ のリプシッツ連続性を仮定する。
• 経路の列 (γₜₙⁿ) における極限の議論を用いて、d∞ 距離における収束を示し、極限経路 γT を構成する。
• 経路空間におけるコンパクトネスおよびコーシー列の議論を用いて、極限経路の存在性と正則性を示す。
• 比較原理および安定性を用いて、価値汎関数 V(γₜ) が粘性の意味でPHJB方程式を満たすことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元の経路空間における1階の経路に依存するHJB方程式に対して、粘性解理論を構築できるか？
• RQ2 制御された経路に依存するSDEの価値汎関数は、関連するPHJB方程式の唯一の粘性解か？
• RQ3 d∞ 距離における経路の収束に関して、粘性解の概念はどのように振る舞うか？
• RQ4 古典的解が存在する場合、粘性解の概念はそれらと一貫性を保つのか？
• RQ5 essentially norm の非微分性が、微分および解の定義において果たす役割は何か？

主な発見

• 適切な制御の下でのコスト汎関数の下界として定義される価値汎関数 V(γₜ) は、PHJB方程式の唯一の粘性解である。
• 古典的解が存在する場合、粘性解の概念はそれらと一貫しており、標準的なHJB理論と整合性を保つ。
• 価値汎関数は安定性の性質を満たす：経路の列がd∞ 距離で収束するならば、対応する価値関数は一様収束する。
• d∞ 距離におけるコーシー列から構成された極限経路 γT は右連続かつ左極限を持つため、càdlàg 経路の空間に属する。
• n → ∞ のとき d∞(ηₜ̂, γₜₙⁿ) → 0 であることは、解の収束に対する経路収束の下での安定性を確認する。
• Gâteaux微分の欠如を克服するため、supremum norm と経路空間の構造を巧みに用いた精密な推計に依拠している。