[論文レビュー] Visualizing elements of Sha[3] in genus 2 jacobians

Nils Bruin, Sander R. Dahmen|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、数体上の楕円曲線のシャファレヴィチ・ターゲー群に属する3次元のすべての元が、 genus 2 曲線のヤコビアンに可視化可能であることを証明しており、三変数三次形式およびウェイリングペアリングに適合する準同型を用いてそのような曲線の明示的構成を与える。主な貢献は、Sha[3] 要素を genus 2 ヤコビアンに可視化する構成的技法の確立であり、マズールの元々の非ヤコビアン可視化法に起因する制限を解消する。

ABSTRACT

Mazur proved that any element xi of order three in the Shafarevich-Tate group of an elliptic curve E over a number field k can be made visible in an abelian surface A in the sense that xi lies in the kernel of the natural homomorphism between the cohomology groups H^1(k,E) -> H^1(k,A). However, the abelian surface in Mazur's construction is almost never a jacobian of a genus 2 curve. In this paper we show that any element of order three in the Shafarevich-Tate group of an elliptic curve over a number field can be visualized in the jacobians of a genus 2 curve. Moreover, we describe how to get explicit models of the genus 2 curves involved.

研究の動機と目的

• 数体上の楕円曲線のシャファレヴィチ・ターゲー群に属する3次元のすべての元が、genus 2 曲線のヤコビアンに可視化可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• マズールの元々の構成法がほとんどヤコビアンを生じさせないという制限を克服し、そのような可視化を実現する genus 2 曲線の明示的モデルを構築すること。
• 三変数三次形式、ウェイリングペアリング、準同型を用いたアルゴリズム的手法により、これらのモデルを具体的に計算する方法を提供すること。
• 3次元部分群の反同型写像が、ヤコビアンが genus 2 曲線であるための必要十分条件であることを示すこと。

提案手法

• 楕円曲線のコホロジーにおける3次元クラスを表す三変数三次形式によって定義される平面の三次曲線を用いる。
• ウェイリングペアリングに適合する同型写像を介して、最初の曲線と反同型な3次元部分群を持つ第二の楕円曲線を構成する。
• それぞれの三変数三次形式に従って、2つの楕円曲線の積としてℙ²×ℙ²内に表面を定義する。
• 線形条件 xu + yv + zw = 0 によってこの表面に除数 D を定義し、これを3倍することで genus 2 曲線 C に引き上げる。
• 数体上の点数計算と線形代数を用いて、ℙ²×ℙ²における C の定義方程式の係数を求める。
• 座標変換を用いてモデルを標準的な双曲的形に変換し、C に対する明示的な双曲的方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の楕円曲線のシャファレヴィチ・ターゲー群に属する3次元のすべての元が、genus 2 曲線のヤコビアンに可視化可能か？
• RQ2 2つの楕円曲線の3次元部分群にどのような条件が課されると、それらの積が3倍写像によって genus 2 曲線を商として持つか？
• RQ3 どのようにして、そのような可視化を実現する genus 2 曲線の明示的モデルをアルゴリズム的に構築できるか？
• RQ4 単なる同型写像ではなく、反同型写像が存在することにより、商がヤコビアンであることが保証される理由は何か？

主な発見

• 数体上の楕円曲線のシャファレヴィチ・ターゲー群に属する3次元のすべての元は、genus 2 曲線のヤコビアンに可視化可能である。
• この構成は、ウェイリングペアリングに適合する同型写像を介して反同型な3次元部分群を持つ2つの楕円曲線のペアに依存する。
• Y² + (X+1)Y = 3X⁵ + 5X⁴ + X³ - 8X² - 5X + 2 などの双曲的モデルを持つ明示的な genus 2 曲線が構成された。
• 1つの例では、曲線 C はℙ²×ℙ²において 4xu - 155zu + xv + 2yv - 40xw + yw + 1314zw = 0 で定義された。
• Y² = (3X-1)(X+1)(4X³+4X²-9) というモデルを持つ曲線では、そのヤコビアンが楕円曲線 681c1 から来る Sha[3] 要素を可視化する。
• 標準的なアーベル曲面の構成法（例えば、準同型を用いたもの）がヤコビアンを生じさせない場合でも、本手法は Sha[3] 要素を効果的に可視化できた。