[論文レビュー] Volterra Equations of the First kind with Discontinuous Kernels in the Theory of Evolving Systems Control

Denis Sidorov|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、変化するシステム制御に共通する不連続な区分的滑らかさを持つカーネルを有する第一種ボルテラ積分方程式を解く構成的技法を開発する。存在定理を確立し、解の対数的・べき乗的漸近展開を提案する。係数は [0, T] 上で一様収束する逐次近似により決定され、不規則な場合における任意定数を含む解のパrametric族の構成が可能になる。

ABSTRACT

The Volterra integral equations of the first kind with piecewise smooth kernel are considered. Such equations appear in the theory of optimal control of the evolving systems. The existence theorems are proved. The method for constructing approximations of parametric families of solutions of such equations is suggested. The parametric family of solutions is constructed in terms of a logarithmic-power asymptotics.

研究の動機と目的

• 変化するシステム制御における不連続カーネルを有する第一種ボルテラ積分方程式に対する体系的な解法の欠如に応える。
• カーネルの滑らかさと構造に関する条件下で、連続解の存在定理を確立する。
• 対数的・べき乗的漸近展開と逐次近似を用いて、解の近似を実行する構成的アルゴリズムを開発する。
• 解の構造を特定する。特に、不規則な場合における任意定数の出現を含む。
• 逐次反復による剰余項の数値的近似のための一様収束フレームワークを提供する。

提案手法

• 解を対数的・べき乗的漸近展開として定式化する：$ x(t) = ∑_{i=0}^{N} x_i(\ln t) t^i + t^N u(t) $、ここで $ x_i(\ln t) $ は $ \ln t $ に関する多項式である。
• カーネル $ K(t,s) $ を、曲線 $ s = \alpha_i(t) $ 沿いに不連続である区分的滑らかさを持つものと定義する。ここで $ \alpha_i'(t) < 1 $ である。
• ボルテラ方程式から導かれる同次積分関数方程式に対する有界逆作用素の存在を保証するための条件 A を導入する。
• 作用素 $ A $ の収縮性を示すために、$ ||u|| = \max_{t \in [0,T]} e^{-lt} |u(t)| $ という修正されたノルムを用い、一様収束を保証する。
• 差分方程式と特性方程式を用いて係数 $ x_i(\ln t) $ の構造を特定する。特に、根 $ \lambda = 1 $ の重複度が任意定数の数を決定する。
• 初期値 $ u_0(t) = 0 $ から出発する一様収束する逐次近似により剰余関数 $ u(t) $ を構成する。条件 A の下で収束が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続カーネルを有する第一種ボルテラ積分方程式が、$ (0, T] $ 上で連続解を有するための条件は何か？
• RQ2 解が $ t = 0 $ 近傍で対数的特異性を示す場合、どのようにして解のパrametric族を体系的に構成できるか？
• RQ3 関連する差分方程式の特性方程式における根 $ \lambda = 1 $ の重複度が、解における任意定数の数を決定する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ4 漸近展開における剰余項 $ u(t) $ は、一様収束する反復スキームによって構成可能か？
• RQ5 特に $ s = \alpha_i(t) $ 沿いの不連続性を有するカーネル $ K(t,s) $ の構造は、解の可解性と正則性にどのように影響するか？

主な発見

• 条件 A の下で、不連続カーネルを有する第一種ボルテラ方程式の解は存在し、$ x(t) = \sum_{i=0}^{N} x_i(\ln t) t^i + t^N u(t) $ として表現可能である。ここで $ x_i(\ln t) $ は $ \ln t $ に関する多項式である。
• 解に含まれる任意定数の数は $ p = r_1 + \cdots + r_k $ である。ここで $ r_j $ は、$ j $ 番目のカーネルセグメントに対応する $ j $ 番目の特性方程式における根 $ \lambda = 1 $ の重複度である。
• $ u(t) $ の逐次近似スキームは $[0, T]$ 上で一様収束する。収束は指数的重み付きノルムにおける収縮性により保証される。
• $ L(0) = 0 $ の場合、先頭項 $ x_0(\ln t) $ に $ \ln t $ 項が含まれるため、$ \lim_{t \to 0^+} x(t) = \infty $ となり、対数的特異性を示す。
• カーネルの不連続性が曲線 $ \alpha_i(t) $ に沿って $ \alpha_i'(t) < 1 $ を満たす場合、この手法は一般化可能であり、やや滑らかさの仮定が緩い条件下でも解の構造は有効である。
• 解が $ t = 0 $ 近傍で有界でない場合であっても、漸近展開による対数的特異性の捉え込みにより、連続解の構成が可能になる。