[論文レビュー] Volume dependence in 2+1 Yang-Mills theory

Margarita Garcı́a Pérez, Antonio González-Arroyo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

High-Energy Particle Collisions Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、磁場フラックスを有する空間トーラス上の2+1次元SU(N)ヤン・ミルズ理論における電場フラックススペクトルを調査し、電場フラックスのエネルギーが次元のない変数 $ x = \lambda Nl $ および $ \vec{e}/N $ のみに依存することを示している。ここで $ \lambda = g^2N $ は't Hooft結合定数である。結果は、摂動論的一loop補正と大 $ x $ における有効ストリング記述との両方に整合するスケーリング行動を示しており、サイズ $ l $ と色数 $ N $ が $ Nl $ を通じて交換可能である、次元削減の形式を支持する。

ABSTRACT

We present the results of an analysis of a 2+1 dimensional pure SU(N) Yang-Mills theory formulated on a 2-dimensional spatial torus with non-trivial magnetic flux. We focus on investigating the dependence of the electric-flux spectrum, extracted from Polyakov loop correlators, with the spatial size l, the number of colours N, and the magnetic flux m. The size of the torus acts a parameter that allows to control the onset of non-perturbative effects. In the small volume regime, where perturbation theory holds, we derive the one-loop self-energy correction to the single-gluon spectrum, for arbitrary N and m. We discuss the transition from small to large volumes that has been investigated by means of Monte-Carlo simulations. We argue that the energy of electric flux e, for the lowest gluon momentum, depends solely on e/N and on the dimensionless variable x=lambda N l, with lambda the 't Hooft coupling. The variable x can be interpreted as the dimensionless 't Hooft coupling for an effective box size given by Nl. This implies a version of reduction that allows to trade l by N without modifying the electric-flux energy.

研究の動機と目的

• 2+1次元SU(N)ヤン・ミルズ理論における空間的サイズ $ l $、色数 $ N $、磁場フラックス $ m $ が電場フラックススペクトルに与える依存性を調査すること。
• トーラスサイズ $ l $ を制御することで、摂動論的から非摂動的領域への遷移を調べ、非摂動的効果の正則化としての役割を果たす。
• サイズ $ l $ と色数 $ N $ が有効サイズ $ Nl $ を通じて交換可能であるという次元削減の仮説を、フラックスエネルギーのスケーリングを分析することで検証すること。
• モンテカルロシミュレーションによる数値結果を、摂動論的予測および有効ストリングモデルと比較し、特に大 $ x = \lambda Nl $ の領域で検証すること。

提案手法

• 磁場フラックス $ m $ を有する2次元空間トーラス上にSU(N)ヤン・ミルズ理論を定式化し、$ \Gamma_i $ 行列を用いたねじれ境界条件 $ \Gamma_1\Gamma_2 = e^{i2\pi m/N}\Gamma_2\Gamma_1 $ を導入する。
• ゲージ場のフーリエ展開を、運動量モード $ \vec{P} = \vec{p} + \vec{p}^c $（$ \vec{p}^c $ は色運動量）を用いて行い、サイズ $ Nl \times Nl $ の大きなボックス上の場の理論に類似した形式を導出する。
• 電場フラックスエネルギーに対する1loopグルーオン自己エネルギー補正を計算し、$ E^2(\vec{e})/\lambda^2 = (2\pi|\vec{n}|/(\lambda Nl))^2 - 4\pi/\lambda Nl \cdot G(\vec{e}/N) $ という式を導出。ここで $ G $ はループ補正を符号化している。
• ポリコフ・ループ相関関数から非摂動的スペクトルを抽出し、ゲージ不変な方法で電場フラックス状態にアクセス可能にする。
• モンテカルロシミュレーションを実施し、$ x = \lambda Nl $ の広い範囲でスペクトルを研究。スケーリング行動のテストおよび有効モデルへのフィッティングを実施。
• 結果をナムブ・ゴトーのストリングモデルおよび摂動論的・有効ストリングの組み合わせフィットと比較。$ \delta E^2/\lambda^2 = -4\pi\alpha/x - \pi\beta/3 + \gamma^2 x^2 $ を用いて、$ x $ 全体の依存性を記述。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2+1次元SU(N)ヤン・ミルズ理論における電場フラックスのエネルギーは、空間的サイズ $ l $、色数 $ N $、磁場フラックス $ m $ にどのように依存するか。
• RQ2 固定された $ \vec{e}/N $ に対して、電場フラックスエネルギーが次元のない変数 $ x = \lambda Nl $（$ \lambda = g^2N $）に普遍的にスケーリングするか。
• RQ3 摂動論的から非摂動的ダイナミクスへの遷移が、単一のスケーリング変数 $ x $ で記述可能であり、次元削減の形式を示唆するか。
• RQ4 非摂動的スペクトルは、大 $ x $ において有効ストリング記述（特にナムブ・ゴトー作用）と整合するか。
• RQ5 1loop摂動論とストリング的挙動を統合したフィットが、すべての $ x $ の領域でエネルギーを正確に記述できるか。

主な発見

• 電場フラックス $ \vec{e} $ のエネルギーを't Hooft結合定数 $ \lambda $ で正規化した量は、$ x = \lambda Nl $ および $ \vec{e}/N $ のみに依存しており、$ N $、$ l $、$ m $ の間で普遍的なスケーリング行動を示している。
• エネルギーに対する摂動論的一loop補正は、$ E^2(\vec{e})/\lambda^2 = (2\pi|\vec{n}|/(\lambda Nl))^2 - 4\pi/\lambda Nl \cdot G(\vec{e}/N) $ で正確に記述され、$ G $ は格子計算結果と一致する。
• モンテカルロシミュレーションにより、$ x $ の広い範囲にわたり $ x $ スケーリングが確認され、摂動論的領域をはるかに超えて良好な一致が得られた。特に $ \{(5,1),(17,3)\} $ のような $ (N,e) $ 組み合わせで顕著な一致を示した。
• 形式 $ \delta E^2/\lambda^2 = -4\pi\alpha/x - \pi\beta/3 + \gamma^2 x^2 $（$ \alpha = G(e/N) $）への統合的フィットは、純粋なストリングフィットよりも良好な $ \chi^2 $ を得ており、中間領域の記述が改善されていることを示唆している。
• 大 $ x $ におけるストリング的挙動、特に $ \delta E^2 \sim \gamma^2 x^2 $ は、ナムブ・ゴトー予測と整合しており、コンfinement相におけるフラックスチューブの形成を支持する。
• $ m $ と $ \bar{k} $（$ m $ のモジュラー逆数）が両方とも $ N $ のオーダーにあるとき、タキオン不安定性が回避され、大 $ N $ におけるEguchi-Kawai次元削減が成立する条件と整合する。