[論文レビュー] Volume entropy and the Gromov boundary of flat surfaces

Klaus Dankwart|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、 genus $g \geq 2$ かつ面積 1 の閉じた平坦な曲面に対して、モジュライ空間における発散が、体積エントロピーおよび普遍被覆のグロモフ境界のハウスドルフ次元が無限大に発散することと同値であることを確立する。さらに、被覆写像の幾何的・組合せ的データに基づき、分岐被覆のエントロピーに対する境界を示し、漸近的に鋭い例を構成する。

ABSTRACT

We consider the volume entropy of closed flat surfaces of genus $g\geq 2$ and area 1. We show that a sequence of flat surfaces diverges in the moduli space if and only if the volume entropy converges to infinity. Equivalently the Hausdorff dimension of the Gromov boundary of the isometric universal cover tends to infinity. Moreover, we estimate the entropy of a locally isometric branched covering of a flat surface by the entropy of base surface and the geometry of the covering map.

研究の動機と目的

• モジュライ空間における発散を、幾何的不変量を用いて特徴付けること。
• モジュライ空間における発散列と体積エントロピーの発散、またはグロモフ境界の次元の発散との同値性を確立すること。
• 被覆写像の幾何的および組合せ的データを用いて、平坦な分岐被覆の体積エントロピーを推定すること。
• 導出されたエントロピー境界が漸近的に鋭いかどうかを示す例を構成すること。

提案手法

• シュバルツ＝ミルナーの補題を用いて、平坦曲面の普遍被覆を quasi-isometry によりポアンカレ円板と関連付ける。
• グロモフの $\delta$-双曲空間理論を適用し、グロモフ境界およびそのハウスドルフ次元を定義する。
• 体積エントロピーを、基点からの距離内に収まるデック変換の数の増加率として定義する。
• 重要な関係式を確立する：グロモフ境界のハウスドルフ次元は $e(X)/\log(\xi)$ に等しい、ここで $\xi = 2^{1/(2\delta_{\inf})}$ である。
• 分岐点のデータと測地線の連結を用いて、被覆曲面内のループからモデルの3枚被覆への写像 $\Phi$ を構成する。
• 数え上げ的議論によりエントロピー境界を導出する：$e(T) \leq (e(S)+1)\left(a(S) + \frac{C \log(\lambda(T))}{l_b(T)}\right)$、ここで $\lambda(T)$ は組合せ的複雑性を測る量、$l_b(T)$ は分岐点間の最小距離である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦曲面の列 $S_i \in \mathcal{Q}_g$ は、いつモジュライ空間 $\mathcal{Q}_g$ で発散するか？
• RQ2 体積エントロピーとグロモフ境界のハウスドルフ次元は、モジュライ空間の幾何にどのように関係するか？
• RQ3 ベース曲面および被覆の幾何に基づき、平坦な分岐被覆の体積エントロピーにどのような境界を置けるか？
• RQ4 導出されたエントロピー境界は漸近的に鋭いか？

主な発見

• 平坦曲面の列 $S_i \in \mathcal{Q}_g$ がモジュライ空間で発散するための必要十分条件は、$S_i$ の体積エントロピーが無限大に発散することである。
• 同値に、$S_i$ の普遍被覆のグロモフ境界のハウスドルフ次元が $i \to \infty$ のとき無限大に発散する。
• 平坦な分岐被覆 $\pi: T \to S$ に対して、ある定数 $C > 0$ を用いて $e(T) \leq (e(S)+1)\left(a(S) + \frac{C \log(\lambda(T))}{l_b(T)}\right)$ が成り立つ。ここで $\lambda(T)$ はシート数と分岐点数を組み合わせた量であり、$l_b(T)$ は分岐点間の最小距離である。
• 同じエントロピー境界はグロモフ境界のハウスドルフ次元に対しても成り立つ。
• 本稿では、エントロピー境界が漸近的に鋭いかどうかを示す例の族を構成する。
• 1つの分岐点を持つ3枚被覆 $T_0 \to S$ のエントロピーは $e(T_0) \leq a_1(S)(\log(2n) + e(S))$ で抑えられ、これは一般の境界の基本ケースとして用いられる。