[論文レビュー] Volume estimates for Kähler-Einstein metrics and rigidity of complex structures

X-X. Chen, Simon Donaldson|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ケーラー・アインシュタイン多様体に対して小さなエネルギー推定を確立し、局所的曲率の減衰がより小さい球内の計量の均一な $C^{2,\beta}$ 側面を示す。商特異点における複素幾何的剛性と、縮小する領域における $\overline{\partial}$-問題の技法を用いて、このような多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限が $q \geq 3$ のとき $\mathbb{C}^{n-q} \times \mathbb{C}^q/\Gamma$ の形を取れないことを示し、曲率集中集合の体積推定を得るとともに、3次元の場合の体積推定について新たな証明を与える。

ABSTRACT

This paper extends our earlier results to higher dimensions using a different approach, based on the rigidity of complex structures on certain domains.

研究の動機と目的

• 任意の複素次元 $n$ のケーラー・アインシュタイン多様体に対して、直径とリッチ曲率の有界性の下で小さなエネルギー推定を確立すること。
• このような多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限が $q \geq 3$ のとき $\mathbb{C}^{n-q} \times \mathbb{C}^q/\Gamma$ の形を取れないことを証明し、特定の特異極限モデルを除外すること。
• 縮小する領域における $\overline{\partial}$-問題の技法を用いて、曲率集中の体積推定の3次元ケースについて、新たな複素幾何的証明を与えること。
• $q \geq 3$ のとき、$\Gamma$-商特異点をもつ領域 $V(a) \subset \mathbb{C}^n$ における複素構造の剛性結果を確立し、$C^{1,\alpha}$ で小さい変形が $C^{2,\alpha}$ 同相によって標準構造に同値であることを示すこと。

提案手法

• 曲率集中を測るため、正規化されたエネルギー $E(x,r) = r^{2-n} \int_{B(x,r)} |\mathrm{Riem}|^2$ を用いる。
• $E(x,r) \leq \epsilon_0$ ならば、$B(x,r/2)$ 上で点ごとの曲率の有界性 $|\mathrm{Riem}| \leq K r^{-2}$ が得られ、小さなエネルギー推定が確立される。
• スケーリングされた列のグロモフ＝ハウスドルフコンパクトネスを適用し、その極限空間を分析する。
• 複素幾何的技法を用いて、$q \geq 3$ のとき極限が $\mathbb{C}^{n-q} \times \mathbb{C}^q/\Gamma$ の形を取れないことを示し、$\Gamma$-作用をもつ領域 $V(a)$ における複素構造の剛性に依拠する。
• Hölderノルムの減衰を用いて、収束を保証するように、縮小する領域 $V(a_r)$ 上で反復的 $\overline{\partial}$-解を用いて微分同相写像の列を構成する。
• $q \geq 3$ のとき $H^1(V_a; \mathcal{O})$ の消滅を活用し、$\overline{\partial}$-問題の可解性と変形ノルムの制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元のケーラー・アインシュタイン多様体において、小さな正規化エネルギー $E(x,r)$ は、より小さい球内での均一な点ごとの曲率減衰を示唆するか？
• RQ2 なぜ $q \geq 3$ のとき、ケーラー・アインシュタイン多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限は $\mathbb{C}^{n-q} \times \mathbb{C}^q/\Gamma$ の形を取らないのか？
• RQ3 $H^1$-消滅が、商特異点をもつ領域における複素構造の剛性に果たす役割は何か？
• RQ4 縮小する領域 $V(a_r)$ 上での反復的 $\overline{\partial}$-解を用いて、複素構造の微分同相写像的剛性を証明するにはどうすればよいか？
• RQ5 $q \geq 3$ のときの複素構造の剛性と、$q=2$ のときの非剛性の違いは何か、特に層コホホロジーの観点から。

主な発見

• ある $\epsilon_0 > 0$ と $K > 0$ が存在し、$E(x,r) \leq \epsilon_0$ ならば $B(x,r/2)$ 上で $|\mathrm{Riem}| \leq K r^{-2}$ が成り立つ。これにより小さなエネルギー推定が確立される。
• $|\mathrm{Riem}| \geq r^{-2}$ を満たす点の $r$-近傍 $Z_r$ の体積は、$\mathrm{Vol}(Z_r) \leq C(n,D) E(M) r^4$ を満たす。ここで $E(M)$ は曲率の $L^2$ ノルムである。
• 正規化エネルギー $E(x,r)$ は近似的に単調性を満たす。すなわち、$E(x,r)$ が小さいならば、すべての $y \in B(x,r/2)$ と $r' \leq r/2$ に対して $E(y,r')$ も小さい。これは $\epsilon$ に一様である。
• $q \geq 3$ のとき、$V_\Gamma(a_0)$ 上の標準的複素構造の $C^{1,\alpha}$-小変形 $J'$ は、より小さい領域 $V_\Gamma(b_1)$ 上で標準的構造と $C^{2,\alpha}$-近い微分同相写像によって同値である。
• 縮小する領域 $V(a_r)$ 上での微分同相写像の反復的構成は、$\|\mu_r\|_{1,\alpha}$ の急激な減衰により収束する。これは再帰関係 $\eta_{r+1} \leq C_1 r^{2p_1}/(r+1)^{p_1} \eta_r^2$ によって制御され、$\eta_r \to 0$ が指数関数的に成立する。
• 証明は $q=2$ と $q \geq 3$ の間の重要な違いを明らかにする。$q=2$ のとき剛性は失敗する。これは $H^1$ が消えないことによるもので、$\mathbb{C}^2/\pm1$ の変形が非特異な二次曲面に移る例で示される。