[論文レビュー] Volume form on moduli spaces of d-differentials

Duc-Manh Nguyen|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、種数 $g$ のリーマン面における極みちがり $d$-微分形式の空間のモジュライ空間に、規定された零点および極の位数 $κ$ を持つ場合に、その上に標準的で平行な体積形式が存在することを確立し、この体積形式によって誘導される測度のもとで、射影化された空間 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ の全体積が有限であることを証明する。

ABSTRACT

Given $d\in \mathbb{N}$, $g\in \mathbb{N} \cup\{0\}$, and an integral vector $\kappa=(k_1,\dots,k_n)$ such that $k_i>-d$ and $k_1+\dots+k_n=d(2g-2)$, let $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ denote the moduli space of meromorphic $d$-differentials on Riemann surfaces of genus $g$ whose zeros and poles have orders prescribed by $\kappa$. We show that $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ carries a canonical volume form that is parallel with respect to its affine complex manifold structure, and that the total volume of $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)=\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}/\mathbb{C}^*$ with respect to the measure induced by this volume form is finite.

研究の動機と目的

• 指定された位数型を持つメラモーフィック $d$-微分形式のモジュライ空間 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ に標準的体積形式を構成すること。
• この体積形式がモジュライ空間のアフィン複素多様体構造に関して平行であることを確立すること。
• 体積形式によって誘導される測度のもとで、射影化されたモジュライ空間 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ の全体積を調査すること。
• この全体積が有限であるかどうかを特定し、$d$-微分形式理論における重要な幾何学的・力学的問題に答えること。

提案手法

• $d$-微分形式の局所座標から生じる $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ の内在的なアフィン複素多様体構造を用いる。
• アフィン多様体の平坦構造を用いて、ホロノミー変換に対して不変であるように、標準的体積形式を構成する。
• 移動表面およびその一般化である $d$-微分形式の理論を応用し、自然な体積要素を定義する。
• $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 上の $\mathbb{C}^*$-作用を活用して、体積形式を射影空間 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ に降下させる。
• モジュライ空間のオビフォールド被覆上で積分技術を適用し、射影空間の全体積を計算する。
• $\sum k_i = d(2g-2)$ および $k_i > -d$ の条件に依存し、これによりこのような微分形式の存在と適切なコンパクト化が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ は、そのアフィン構造に関して平行な標準的体積形式を有するか？
• RQ2 この体積形式によって誘導される測度のもとで、射影化された空間 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ の全体積は何か？
• RQ3 この全体積は、標準的測度のもとで $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ に対して有限か？
• RQ4 $d$-微分形式の空間上の $\mathbb{C}^*$-作用において、標準的体積形式はどのように振る舞うか？
• RQ5 平坦幾何とモジュライ空間のコンパクト化の性質を用いて、体積の有限性を確立できるか？

主な発見

• $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ のモジュライ空間には、そのアフィン複素多様体構造に関して平行な標準的体積形式が存在する。
• この体積形式は、アフィン構造によって誘導される平坦接続のホロノミーに関して不変である。
• 体積形式が $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ の上に標準的である場合、射影化された空間 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ の全体積は有限である。
• $k_i > -d$ および $\sum k_i = d(2g-2)$ の条件下で、この全体積の有限性が保証され、指定された位数型を持つメラモーフィック $d$-微分形式の存在が保証される。
• 標準的体積形式は、射影空間 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 上に適切に定義された測度に降下し、有限な全体積の定義を可能にする。
• この結果は、$d=1$（アーベル微分形式）の場合の体積の有限性を高次の $d$-微分形式に一般化し、ティヒミュラー力学における既知の結果を拡張する。