[論文レビュー] Volume growth, capacity estimates, $p$-parabolicity and sharp integrability properties of $p$-harmonic Green functions

Anders Björn, Jana Björn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、倍加測度および $p$-Poincaré 不等式を満たす測度空間における $p$-調和グリーン関数とその勾配の鋭い可積分性および成長評価を確立する。空間の特異点付近での測度の成長に基づき、可積分性を特徴づける、アンナリィの新規な容量評価を導入し、$p$-非退化性を特徴づける。この評価により、重み付き $\mathbf{R}^n$ および多様体への一般化が可能となり、$L^\tau$ および $L^t$ 可積分性の明確な閾値が得られる。

ABSTRACT

In a complete metric space equipped with a doubling measure supporting a $p$-Poincaré inequality, we prove sharp growth and integrability results for $p$-harmonic Green functions and their minimal $p$-weak upper gradients. We show that these properties are determined by the growth of the underlying measure near the singularity. Corresponding results are obtained also for more general $p$-harmonic functions with poles, as well as for singular solutions of elliptic differential equations in divergence form on weighted $\mathbf{R}^n$ and on manifolds. The proofs are based on a new general capacity estimate for annuli, which implies precise pointwise estimates for $p$-harmonic Green functions. The capacity estimate is valid under considerably milder assumptions than above. We also use it, under these milder assumptions, to characterize singletons of zero capacity and the $p$-parabolicity of the space. This generalizes and improves earlier results that have been important especially in the context of Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• 測度空間における $p$-調和グリーン関数の $L^\tau$-可積分性および体積成長を特徴づけること。
• 極を持つ $p$-調和関数およびその最小 $p$-弱上付き勾配の可積分性の鋭い閾値を確立すること。
• 最小限の仮定の下で、測度空間における $p$-非退化性および容量の一般化を達成すること。
• 重み付き $\mathbf{R}^n$ およびリーマン多様体における既存の特異解に関する結果を統合・改善すること。
• 測度の成長と $p$-非退化性の相互作用を捉える、一般化されたアンナリィの容量評価を提供すること。

提案手法

• やや弱い仮定の下で、測度空間におけるアンナリィの新規な一般容量評価を構築し、グローバルな Poincaré 不等式が成り立たない場合でも有効であることを示す。
• 容量評価を用いて、$p$-調和グリーン関数およびその勾配の精密な点ごとの評価を導出する。
• 容量評価を用いて、容量ゼロの単一集合および空間の $p$-非退化性を特徴づける。
• 上付き勾配の意味における $p$-弱上付き勾配および $p$-エネルギー最小化の理論に依拠する。
• 測度の特異点付近での成長率との関連を明確にすることで、重み付き $\mathbf{R}^n$ および多様体からの結果を適応・拡張する。
• 局所的可積分性の解析に Caccioppoli 型不等式および切り詰め技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点付近での測度の成長が、$p$-調和グリーン関数の $L^\tau$-可積分性にどのように影響するか？
• RQ2 測度の同次的次元 $\overline{s}_0$ を用いて表したとき、$p$-調和グリーン関数の $L^\tau$-可積分性の正確な閾値 $\tau_p$ は何か？
• RQ3 アンナリィの容量評価は、$p$-非退化性および容量ゼロの点の存在性とどのように関係するか？
• RQ4 極を持つ $p$-調和関数に関する結果は、発散型形式の一般楕円型方程式の解へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 倍加性および Poincaré 不等式という最小限の幾何的仮定のもとで、勾配の鋭い可積分性結果を得られるか？

主な発見

• $p$-調和グリーン関数の $L^\tau$-可積分性は鋭く、$\tau_p = \overline{s}_0(p-1)/\overline{s}_0$ で与えられ、ここで $\overline{s}_0$ は特異点付近での測度の臨界成長指数である。
• グリーン関数の最小 $p$-弱上付き勾配は、すべての $t < t_p$ に対して $L^t_{\rm loc}$ に属するが、$t_p$ では属さないため、鋭さが保証される。ここで $t_p = \overline{s}_0(p-1)/\overline{s}_0$ である。
• 倍加性および Poincaré 不等式の仮定のみで成り立つ、アンナリィの新規な容量評価が得られ、$p$-非退化性および容量ゼロの単一集合の特徴づけが可能になる。
• 重み付き $\mathbf{R}^n$ およびリーマン多様体への結果の一般化が可能であり、同じ可積分性閾値が測度の局所的成長に依存して決定される。
• 容量評価により、$p$-非退化性が測度の臨界的成長 $\mu(B(x_0,r)) \lesssim r^{\overline{s}_0}$ と同値であり、$\overline{s}_0 \leq p-1$ を満たすことが示される。
• ディラック型源を持つ発散型形式の楕円型方程式の解に対しても、$p$-調和グリーン関数と同様の可積分性および成長特性が成り立つ。