[論文レビュー] Volume growth, Comparison theorem and Escape Rate of Diffusion Process

Shun-Xiang Ouyang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は体積成長と比較定理を用いて、拡散過程の上界レート関数を確立する。HsuとQinのブラウン運動に関する結果を、一般の対称的・強く局所的なディリクレ形式へと拡張し、リーマン多様体上の拡散の逸脱レートを、ドリフト付き1次元SDEと関連付ける比較定理を証明する。これにより、体積成長とエネルギー密度に基づく上界が得られる。

ABSTRACT

We study the escape rate of diffusion process with two approaches. We first give an upper rate function for the diffusion process associated with a symmetric, strongly local regular Dirichlet form. The upper rate function is in terms of the volume growth of the underlying state space. The method is due to Hsu and Qin [Ann. Probab., 38(4), 2010] where an upper rate function was given for Brownian motion on Riemannian manifold. In the second part, we prove a comparison theorem and give an upper rate function for diffusion process on Riemannian manifold in terms of the upper rate function for the solution process of a one dimensional stochastic differential equation.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上のブラウン運動のHsuとQinによる上界レート関数を、対称的・強く局所的なディリクレ形式の枠組みへ一般化すること。
• 状態空間の体積成長と径方向関数のエネルギー密度を用いて、拡散過程の逸脱レートを特徴付けること。
• リーマン多様体上の拡散過程について、それらをドリフト付き1次元イト拡散に関連付ける比較定理を確立すること。
• ドリフトおよび拡散条件の下で、1次元SDEの解を用いて径方向過程の明示的上界レート関数を導出すること。
• 過程の保守性を保証する時間関数による逸脱レートの有界性を示す十分条件を提供すること。

提案手法

• 測度付き距離空間上の拡散過程をモデル化するため、対称的・正則的・強く局所的なディリクレ形式の使用。
• 測度球の体積成長と径方向関数 $\rho$ のエネルギー密度 $\Gamma(\rho,\rho)$ に依存する上界レート関数の導出。
• 径方向過程がドリフト $\theta$ を持つ1次元イト拡散と関連付けられる比較定理の適用。
• 伊藤の公式を用いて、径方向過程をドリフトと拡散係数を持つ時間変換付き拡散に変換すること。
• 変換された過程に対して $ (b_0 + \varepsilon)t $ が上界レート関数であることを保証するドリフト $b(x)$ および拡散 $\sigma(x)$ に対する十分条件の確立。
• 繰り返し対数法則および経路ごとの推定を用いて、拡散過程の成長を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的・強く局所的なディリクレ形式に付随する拡散過程の逸脱レートは、状態空間の体積成長を用いてどのように上界で抑えられるか？
• RQ2 1次元イト過程のドリフトおよび拡散係数にどのような条件が課されると、$ (b_0 + \varepsilon)t $ が上界レート関数となるか？
• RQ3 リーマン多様体にどのような幾何的条件が課されると、拡散の径方向過程がスケーリングされたドリフト付きブラウン運動と比較可能となるか？
• RQ4 ディリクレ形式の枠組みにおいて、エネルギー密度 $\Gamma(\rho,\rho)$ は上界レート関数にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ドリフト条件 $ L\rho_o \leq \theta(\rho_o) $ の下で、1次元SDEの解を用いて多様体上の拡散の逸脱レートを制御できるか？

主な発見

• 対称的・強く局所的なディリクレ形式に対して、体積成長とエネルギー密度 $ \Gamma(\rho, \rho) $ に依存する上界レート関数が導出され、位相的条件の下で最適性が保証される。
• $ \Gamma(\rho, \rho) \leq 1 $ のとき、上界レート関数は測度球の体積成長にのみ依存する。
• 比較定理が確立された：$ L\rho_o \leq \theta(\rho_o) $ ならば、拡散の径方向過程は、ドリフト $ \theta $ を持つ1次元SDEの解により確率的に支配される。
• ドリフト $ b(x) \leq b_0 $ および拡散 $ \sigma(x) \leq C_\sigma(1 + x^\alpha) $（$ \alpha < 1 $）を満たす1次元イト過程 $ z_t $ に対して、$ (b_0 + \varepsilon)t $ が上界レート関数である。
• ドリフト条件 $ b(x) \leq \tilde{b}(x) $ で $ \int^\infty \frac{1}{\tilde{b}(s)} ds = \infty $ が成り立つ場合、上界レート関数は $ g((C + \varepsilon)t) $ となる。ここで $ C = 1 + C_2/2 $ であり、$ g $ は $ 1/\tilde{b} $ の積分の逆関数である。
• 方程式 $ dx_t = \theta(x_t) dt + \sqrt{2} dW_t $ を満たす $ x_t $ で $ \theta(x) \leq \theta_\alpha x^\alpha $ が成り立つ場合、上界レート関数は $ g_\alpha(C_\alpha t) $ である。ここで $ g_\alpha $ は $ t = \int_0^{g_\alpha(t)} \frac{1}{\theta_\alpha x^\alpha} dx $ を満たす。