[論文レビュー] Volume growth, curvature decay, and critical metrics

Jeff Viaclovsky, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、曲率の減少を伴うリーマン多様体について、最初のベッチ数やグローバルソボレフ定数に関する従来の仮定を排除し、代わりに下側の体積成長条件を要請するだけで、改善された体積成長推定および正則性定理を確立する。主な貢献は、ソボレフ定数ではなく体積の下界に依存する、臨界計量のための新しい局所 $\epsilon$-正則性定理の確立であり、これにより、より弱い幾何的制約のもとで、より強いコンパクト性およびALE構造に関する結果が得られる。

ABSTRACT

We make some improvements to our previous results. First, we prove a version of our volume growth theorem which does not require any assumption on the first Betti number. Second, we show that our local regularity theorem only requires a lower volume growth assumption, not a full Sobolev constant bound. These results allow us to weaken the assumptions of our previous volume growth and convergence theorems.

研究の動機と目的

• 漸近的に非負の曲率をもつ多様体の体積成長定理において、有限な最初のベッチ数の仮定を不要にする。
• 局所正則性定理におけるグローバルソボレフ定数の束縛を、下側の体積成長条件に置き換える。
• より弱い幾何的仮定のもとで、臨界計量のコンパクト性およびALE構造に関する結果を拡張する。
• 4次元における臨界計量の正則性および除去可能な特異点理論を強化する。
• 特に、測地的円環の連結性および除去可能な特異点の役割に関して、先行する証明におけるギャップを是正・補完する。

提案手法

• $L^{n/2}$ における負のリッチ曲率の下界および球体上の体積の下界を用いて、新しい体積成長定理（定理1.1）を証明する。
• ソボレフ定数の仮定を下側の体積成長条件に置き換えた局所 $\epsilon$-正則性定理（定理1.2）を確立する。
• 新しい正則性および体積成長結果を、$\Delta \mathrm{Ric} = \mathrm{Rm} \ast \mathrm{Ric}$ を満たす臨界計量に適用する。このクラスにはバッチ平坦および自己双対計量が含まれる。
• 4次元におけるガウス＝ボンネおよびヒルツェブルシュのシグニチャ定理を用いて、位相的制約およびスカラー曲率の制約のもとで $\|Rm\|_{L^2}$ を有界化する。
• 臨界計量の除去可能な特異点定理を活用し、結果を軌道計量の設定およびALEの端に拡張する。
• コンパクト性定理の文脈において、測地的球面および円環の連結性に関して、以前の証明におけるギャップを再検討し是正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率の減少 $|Rm| = o(r^{-2})$ を伴う多様体について、最初のベッチ数が有限であるという仮定なしに、体積成長推定を確立できるか？
• RQ2 グローバルソボレフ定数の束縛ではなく、下側の体積成長条件のもとで、臨界計量の $\epsilon$-正則性定理を証明できるか？
• RQ3 体積成長の下界およびベッチ数の有界性（または局所ソボレフ定数の有界性）のもとで、$L^2$-ノルムが有限な曲率をもつ、完全で非コンパクトな4次元多様体が、有限個のALEの端しか持たないような幾何的条件は何か？
• RQ4 ソボレフ定数の束縛やベッチ数の条件を仮定しないで、臨界計量の列のコンパクト性定理を証明できるか？
• RQ5 $C^0$-軌道計量が $L^2$-ノルムが有限な曲率をもつとき、孤立した特異点の周囲に滑らかに拡張できるための条件は何か？

主な発見

• 定理1.1は、$C_S < \infty$、$|Rm| = o(r^{-2})$、$\int_M |Ric_-|^{n/2} dV < \Lambda$ を満たす完全で非コンパクトな $n$-多様体が有限個の端を持ち、$\mathrm{Vol}(B(p,r)) \leq C_2 r^n$ を満たすことを確立する。
• 定理1.2は、臨界計量のための局所 $\epsilon$-正則性結果を、下側の体積成長条件のみで証明する：すべての $q \in B(p,r/2)$ および $s \leq r/2$ に対して $\mathrm{Vol}(B(q,s)) \geq V_0 s^4$ が成り立つならば、$\sup_{B(p,r/2)} |\nabla^k Rm| \leq C_k r^{-2-k} \|Rm\|_{L^2(B(p,r))}$ が成り立つ。
• 定理1.3は、$\|Rm\|_{L^2} \leq \Lambda$ を満たす臨界計量（a）、（b）、（c）のクラスにおいて、下側の体積成長の下界およびベッチ数の下界が、$\mathrm{Vol}(B(p,r)) \leq V_1 r^4$ を導くことを示す。
• 定理1.3の別版では、ベッチ数の下界の代わりに、局所ソボレフ定数 $C_S(r) < C_1$ の一様有界性を仮定し、$\mathrm{Vol}(B(p,r)) \leq V_2 r^4$ を得る。
• 定理1.4は、同じ下側の体積成長条件またはソボレフ定数の仮定のもとで、体積が1の臨界計量の列のコンパクト性を確立する。ベッチ数やグローバルソボレフ制御の必要はない。
• 定理5.1は、下側の体積成長および有限なベッチ数（または有限な $C_S$）の下で、$\|Rm\|_{L^2} < \infty$ を満たす完全な4次元多様体が、$\tau < 2$ のオーダーのALEの有限個の端しか持たないことを示し、以前の結果を改善する。