[論文レビュー] Volume growth, eigenvalue and compactness for self-shrinkers

Qi Ding, Y. L. Xin|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間内の完全非コンパクト自己収縮体に対して最適なユークリッド体積成長の上限を確立し、コンパクト自己収縮体上の $\iota$-作用素の第一固有値に対する鋭い下界を提示する。固有値推定を用いて、有界な genus と直径をもつ埋め込み自己収縮体のコンパクト性定理を示し、以前の結果よりも弱い条件下で拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we show an optimal volume growth for self-shrinkers, and estimate a lower bound of the first eigenvalue of $\mathcal{L}$ operator on self-shrinkers, inspired by the first eigenvalue conjecture on minimal hypersurfaces in the unit sphere by Yau \cite{SY}. By the eigenvalue estimates, we can prove a compactness theorem on a class of compact self-shrinkers in $\ir{3}$ obtained by Colding-Minicozzi under weaker conditions.

研究の動機と目的

• 完全非コンパクト自己収縮体の $\mathbb{R}^{n+m}$ 内での最適な体積成長上限を確立し、それがユークリッド空間と同程度に成長することを示す。
• 最小超曲面に関するYauの予想にインspされ、コンパクト自己収縮体上の $\iota$-作用素の第一固有値を推定する。
• 有界な genus と直径をもつ $\mathbb{R}^3$ 内の埋め込み自己収縮体に対して、コンパクト性定理を証明し、Colding-Minicozziの以前の結果を改善する。
• スペクトル幾何学的性質（$\iota$-作用素の固有値）と幾何的制約（genus や直径）を結びつけ、固有値制御によってコンパクト性を実現する。

提案手法

• 重み付きPoincaré不等式を、$\iota = \Delta - \frac{1}{2}\langle X, \nabla(\cdot)\rangle$ として定義される $\iota$-作用素を用いて導出する。この作用素は測度 $e^{-|X|^2/4}d\mu$ に関して自己共役である。
• ヤン＝ヤウの不等式を用いた比較的議論により、genus $g$ の曲面上のラプラシアンの第一固有値を評価する。
• $\rho = e^{-|X|^2/4}$ を用いた計量の共形変換 $\widetilde{g}_{ij} = \rho g_{ij}$ を用いて、$\widetilde{\Delta}$-固有値と $\mathcal{L}$-固有値を関係づける。
• 体積成長の均一推定を確立する。$r \geq 1$ に対して $\int_{D_r} d\mu \leq 32e^{1/4}\pi(1+g)r^2$ が、$\int_M \rho \leq 32\pi(1+g)$ から導かれる。
• 体積成長とgenusの上限を、Gauss-Bonnetの公式と組み合わせて $\int_\Sigma |B|^2$ を制御し、コンパクト性を導く。
• 固有値推定における背理法を用いる：$\lambda_1 < 1/4$ を仮定すると、$R \to \infty$ のとき発散する $\int |\overline{\nabla}^2 f|^2 \rho + \int |\overline{\nabla} f|^2 \rho$ の下界が得られ、これは有限性に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全非コンパクト自己収縮体の $\mathbb{R}^{n+m}$ 内での最適な体積成長率は何か？
• RQ2 コンパクト自己収縮体上の $\iota$-作用素の第一固有値に対して鋭い下界を確立できるか？
• RQ3 $\iota$-作用素の第一固有値推定は、有界な genus と直径をもつ $\mathbb{R}^3$ 内の埋め込み自己収縮体のクラスに対してコンパクト性を示すか？
• RQ4 コンパクトな場合に、$\mathcal{L}$-固有値は genus や直径といった幾何的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 固有値推定を用いて、Gauss-Bonnetを介して第二基本形式の $L^2$-ノルムを制御できるか？

主な発見

• 任意の完全非コンパクトで適切に埋め込まれた自己収縮体は、$\mathbb{R}^{n+m}$ 内でユークリッド空間と同程度の体積成長を示す。
• コンパクトな埋め込み自己収縮体 $\Sigma \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 上の $\iota$-作用素の第一固有値 $\lambda_1$ は、$\lambda_1 \in [1/4, 1/2]$ を満たす。
• $\mathbb{R}^3$ 内の任意のコンパクトな埋め込み自己収縮体（genus $g$）に対して、重み付き体積は $\int_M e^{-|X|^2/4} d\mu \leq 32\pi(1+g)$ を満たす。
• 内在的体積成長は、すべての $r \geq 1$ に対して $\int_{D_r} d\mu \leq 32e^{1/4}\pi(1+g)r^2$ を満たす。
• genus $\leq g$ かつ直径 $\leq D$ をもつ $\mathbb{R}^3$ 内のコンパクトな埋め込み自己収縮体の空間 $S_{g,D}$ に対して、第二基本形式 $|B|^2$ の $L^2$-ノルムは一様に有界である。
• コンパクト性定理が成り立つ：与えられた genus と直径の上限のもとで、空間 $S_{g,D}$ は任意の $k \geq 2$ に対して $C^k$ 位相においてprecompactである。