[論文レビュー] Volume Growth, Spectrum and Stochastic Completeness of Infinite Graphs

Matthias Keller, Daniel Lenz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2011

Graph theory and applications参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、無限の局所的に有限な重み付きグラフにおける体積成長、スペクトル的性質、確率的完全性の間の関係を確立する。弱く球対称なグラフを導入することで、体積成長と境界測度がスペクトルの離散性および確率的不完全性と結びつく明示的条件を導出し、多様体の類似定理に対する反例を提示するとともに、曲率とポテンシャル成長を用いた比較結果を可能にする。

ABSTRACT

We study the connections between volume growth, spectral properties and stochastic completeness of locally finite graphs. For a class of graphs with a very weak spherical symmetry we give a condition which implies both stochastic incompleteness and discreteness of the spectrum. We then use these graphs to give some comparison results for both stochastic completeness and estimates on the bottom of the spectrum for general locally finite graphs.

研究の動機と目的

• 無限の重み付きグラフにおける体積成長、スペクトル的性質、確率的完全性の相関関係を調査すること。
• 最小限の対称性を持つ弱く球対称なグラフのクラスを導入・分析し、スペクトル的および確率的解析を容易にするものとする。
• 球の体積と境界測度に基づいた、スペクトルの離散性および確率的不完全性の明示的条件を導出すること。
• 曲率とポテンシャル成長を用いて、一般のグラフにおけるスペクトルの下端および確率的完全性の比較定理を確立すること。
• 体積成長が多項式的であるが、スペクトルの下端が正でかつ確率的に不完全であるようなグラフの例を構成し、多様体の結果への類似性に反するものとする。

提案手法

• ヒートカーネルが球対称となる弱く球対称なグラフを導入し、対称性が限定的であっても詳細なスペクトル解析を可能にする。
• 一般化された球の体積とその重み付き境界の比を用いて、スペクトルの下端に対する明示的推定を導出する。
• 体積-境界比の条件を用いて確率的完全性を特徴づけ、多様体からの結果を一般化する。
• チーリングとヤウにインspiredされたヒートカーネルの比較を、最小限の対称性を持つグラフに適応する。
• 曲率に基づく比較（リの定理に類似）を用いて、一般のグラフ間でのスペクトル的および確率的性質の関係を関係づける。
• 離散測度空間上のディリクレ型形式および自己共役作用素を用いて、ラプラシアンおよびスペクトル的性質を厳密に定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い対称性を持つグラフにおいて、体積と境界測度のみを用いてスペクトルの下端を推定できるか？
• RQ2 体積および境界の成長にどのような条件が成立すれば、無限グラフにおける確率的不完全性が生じるか？
• RQ3 体積成長が多項式的であるが、スペクトルの下端が正でかつ確率的に不完全であるようなグラフは存在するか？ これは多様体の結果への直接的な類似性に反する。
• RQ4 曲率とポテンシャル成長を用いて、一般の局所的に有限な重み付きグラフ間でのスペクトル的および確率的性質をどのように比較できるか？
• RQ5 弱く球対称なグラフは、一般のグラフにおけるスペクトル的および確率的解析の比較空間として、どの程度有効に機能するか？

主な発見

• 本稿は、弱く球対称なグラフにおける球の体積対境界比に基づいた、スペクトルの離散性に関する基準を提供する。
• 確率的完全性は、体積-境界比の条件によって特徴づけられ、多様体からの結果がグラフへと一般化される。
• 体積成長が多項式的であるが、スペクトルの下端が正でかつ確率的に不完全であるようなグラフの例が構成され、グリゴリヤンおよびブルーズの定理の直接的な類似性に反する。
• 曲率とポテンシャル成長を用いたヒートカーネルの比較が確立され、チーリング・ヤウ型の推定が最小対称性を持つグラフへと一般化される。
• 離散版のリの定理を用いたスペクトルの比較が導出され、チェングらの結果がグラフ設定へと拡張される。
• 本稿は、確率的完全性とスペクトルの離散性が多項式的体積成長と同時に成立しうることを証明し、リーマン幾何学からの仮定に疑問を呈する。