[論文レビュー] Volume minimization and Conformally Kähler, Einstein-Maxwell geometry

Akito Futaki, Hajime Ono|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンpact複素多様体上の conformally Kähler, Einstein-Maxwell (cKEM) 計量の体積最小化原理を確立し、cKEM 計量を生成するハミルトニアン関数を有するキリングベクトル場を、体積関数 functional の臨界点として特徴づける。主な結果は、このような計量が存在するのは、関数 functional の微分が消えるときであり、これは Kähler-Ricci soliton や Sasaki-Einstein 計量と類似した変分的枠組みを提供するが、関数 functional は一般に凸でも、proper でもないため、複数の臨界点が存在しうり、既知の ambitoric 例と整合的である。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact complex manifold admitting a Kähler structure. A conformally Kähler, Einstein-Maxwell metric (cKEM metric for short) is a Hermitian metric $ ilde{g}$ on $M$ with constant scalar curvature such that there is a positive smooth function $f$ with $g = f^2 ilde{g}$ being a Kähler metric and $f$ being a Killing Hamiltonian potential with respect to $g$. Fixing a Kähler class, we characterize such Killing vector fields whose Hamiltonian function $f$ with respect to some Kähler metric $g$ in the fixed Kähler class gives a cKEM metric $ ilde{g} = f^{-2}g$. The characterization is described in terms of critical points of certain volume functional. The conceptual idea is similar to the cases of Kähler-Ricci solitons and Sasaki-Einstein metrics in that the derivative of the volume functional gives rise to a natural obstruction to the existence of cKEM metrics. However, unlike the Kähler-Ricci soliton case and Sasaki-Einstein case, the functional is neither convex nor proper in general, and often has more than one critical points. The last observation matches well with the ambitoric examples studied earlier by LeBrun and Apostolov-Maschler.

研究の動機と目的

• 固定された Kähler 系におけるキリングベクトル場が、そのハミルトニアンポテンシャルとして用いられた場合に、コンpact Kähler 多様体上で conformally Kähler, Einstein-Maxwell (cKEM) 計量を生成する条件を同定すること。
• 体積関数 functional を用いた変分原理を定式化し、その臨界点が Kähler 系を固定したもとでの cKEM 計量の存在に対応することを示すこと。
• Kähler-Ricci soliton や Sasaki-Einstein 計量との類似性を拡張し、体積関数 functional の微分が cKEM 計量存在に対する自然な障害をもたらすことを示すこと。
• 関数 functional が非凸かつ非 proper である性質とその影響を分析し、特に既知の ambitoric 例と一致する複数の臨界点の存在を検討すること。
• トーリック多様体上での cKEM 計量存在のための効率的基準を、本体積関数 functional のアプローチを用いて提示すること。

提案手法

• 体積関数 functional を $ V(Z) = \int_M e^{u_Z} \omega_g^m $ と定義し、$ u_Z $ を $ Z \in \mathfrak{h} $ のハミルトニアン関数とし、$ \int_M u_Z e^{h_g} \omega_g^m = 0 $ により正規化する。ここで $ \omega_g $ は固定された Kähler 系に属する。
• 関数 $ V $ の $ X $ における微分が、cKEM-Futaki 不変量 $ F_X $ に比例することを示し、$ dV_X(Y) = c \cdot F_X(Y) $ となる。これより、臨界点では $ F_X = 0 $ が成り立つ。
• 関数 $ V $ が固定された Kähler 系内での $ \omega_g $ の取り方によらず不変であることを証明し、Kähler 代表元間での一貫性を保証する。
• 関数 $ V $ の臨界点として cKEM 計量を特徴づけ、Kähler-Ricci soliton や Sasaki-Einstein の設定で用いられる変分的アプローチを一般化する。
• トーリック多様体に本手法を適用し、モーメントマップ多面体上で明示的な計算を用いて、$ V $ の臨界点が cKEM 計量に対応することを示す。
• 具体的な例として、$ \mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1 $ や $ \mathbb{C}P^2 $ の吹き上げについて、$ \partial V^2 / \partial a = \partial V^2 / \partial b = 0 $ を解くことにより、ambitoric 構造を分析し、4つの解族を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された Kähler 系内でのキリングベクトル場が、そのハミルトニアンポテンシャルとして用いられた場合に、コンpact Kähler 多様体上で conformally Kähler, Einstein-Maxwell 計量を生成するのはどのようなときか？
• RQ2 cKEM 計量の存在はどのように変分原理で特徴づけられるのか？また、体積関数 functional はこの特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 なぜ体積関数 functional は凸でも、proper でもないのか？この性質は、臨界点の数や複数の cKEM 解の存在にどのように影響するか？
• RQ4 体積最小化枠組みを用いて、特に凸四角形のモーメントマップ像を持つトーリック多様体上での cKEM 計量を体系的に特定できるか？
• RQ5 体積関数 functional の臨界点は、LeBrun の ambitoric 計量や Apostolov-Maschler の例に既知のものに対応するか？

主な発見

• cKEM 計量が存在するのは、キリングベクトル場 $ X $ が体積関数 functional $ V $ の臨界点であるときであり、$ V $ の $ X $ における微分が cKEM-Futaki 不変量に比例する。
• 体積関数 functional $ V $ は、固定された Kähler 系内での Kähler 計量 $ g $ の選び方に依存しないため、特徴づけの堅牢性を保証する。
• 関数 functional は一般に凸でも、proper でもないため、複数の臨界点が存在しうる。これは ambitoric 例における複数の cKEM 計量の存在と整合的である。
• $ \mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1 $ に対して、$ \partial V^2 / \partial a = \partial V^2 / \partial b = 0 $ の解として4つの解族を同定した。そのうち、2つの解族（(3) と (4)）は $ 0 < p < \alpha_q $ に対して実数解をもち、$ U(1) \times U(1) $ 対称性を持つ潜在的な新しい cKEM 計量を示唆している。
• case (1) で $ b = 0 $ は LeBrun の $ U(2) $ 対称性を持つ構成に対応し、$ b = 0 $ の中で唯一のものであるため、この対称解の一意性が示唆される。
• 関数 functional の臨界点には $ U(1) \times U(1) $ 対称性を持つ解が含まれ、本稿では、$ 0 < p < \alpha_q $ の範囲でこのような解が存在する可能性を予想しているが、存在性は未解決のままである。