[論文レビュー] Volume of representation varieties

Motohico Mulase, Michael Penkava|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 41被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限生成群の表現多様体に対するコンパクトリー群への体積不変量を、群の提示からの押し出し測度を用いて定義する。この体積がアンドリュース＝カーティス移動に関して不変であり、生成子と関係式の差が固定されている限り提示に依存しないことを証明する。主な結果として、可約表現を用いた曲面群の体積を計算し、半単純リー群の場合にウィッテンおよびリウの結果を定数倍の違いを除いて回復する。

ABSTRACT

We introduce the notion of volume of the representation variety of a finitely presented discrete group in a compact Lie group using the push-forward measure associated to a map defined by a presentation of the discrete group. We show that the volume thus defined is invariant under the Andrews-Curtis moves of the generators and relators of the discrete group, and moreover, that it is actually independent of the choice of presentation if the difference of the number of generators and the number of relators remains the same. We then calculate the volume of the representation variety of a surface group in an arbitrary compact Lie group using the classical technique of Frobenius and Schur on finite groups. Our formulas recover the results of Witten and Liu on the symplectic volume and the Reidemeister torsion of the moduli space of flat G-connections on a surface up to a constant factor when the Lie group G is semisimple.

研究の動機と目的

• 有限生成離散群のコンパクトリー群への表現多様体に対する体積不変量を定義すること。
• この体積が群の提示に関するアンドリュース＝カーティス移動に関して不変であることを確立すること。
• 体積が提示の具体的な内容に依存せず、生成子と関係式の数の差にのみ依存することを示すこと。
• フロベニウス＝シュール技法と既約表現を用いて、曲面群の表現多様体の体積を計算すること。
• 半単純リー群の場合に、体積がシンプレクティック体積およびリードマイスター torsion とどのように関係するかを明らかにし、既知の結果を定数倍の違いを除いて回復すること。

提案手法

• 群の提示写像 $G^k \to G^r$ によって誘導される押し出し測度を用い、関係式写像による単位元の逆像として、表現多様体 $\mathrm{Hom}(\Pi, G)$ の体積を定義する。
• 特にピーター＝ウェイ氏の定理と特性理論を用いた、コンパクトリー群の調和解析および表現論の技法を適用する。
• 非可縮曲面に不可欠な、フロベニウス＝シュール指標を用いて既約表現を実型、複素型、クaternion型に分類する。
• 既約表現 $\lambda \in \hat{G}$ に関する和を用いた明示的公式を導出し、$\chi(S)$ をオイラー標数として、$ (\dim \lambda)^{\chi(S)} $ の項を含む。
• 曲面のセル分解と図式的展開（フェインマン図）を用い、体積を群多様体上の積分に関連付ける。
• 有限群の場合、公式はフロベニウス＝シュールおよびメドニヒの古典的結果に還元され、極限または双対性の議論によりコンパクトリー群に拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現多様体 $\mathrm{Hom}(\Pi, G)$ の体積は、特にアンドリュース＝カーティス移動を含む群の提示の変更に関して不変か？
• RQ2 体積は生成子と関係式の数の差 $k - r$ のみに依存し、具体的な提示に依存しないか？
• RQ3 曲面群の表現多様体の体積は、$G$ の既約表現の言語で表現可能か？
• RQ4 曲面群の体積公式は、シンプレクティック体積やリードマイスター torsion といった既知の不変量とどのように関係するか？
• RQ5 フェインマン図展開を用いて、無限次元群代数に対しても体積を一貫して定義可能か？

主な発見

• 表現多様体の体積はアンドリュース＝カーティス移動に関して不変であり、同じ群の異なる提示間での一貫性が保証される。
• 体積は生成子と関係式の数の差 $k - r$ のみに依存し、具体的な提示には依存しない。
• 向き付け可能な genus $g \geq 2$ の曲面に対して、体積は $ |G|^{\chi(S)-1} \sum_{\lambda \in \hat{G}} (\dim \lambda)^{\chi(S)} $ で与えられ、ここで $\chi(S) = 2 - 2g$ である。
• 非可縮曲面に対しては、体積は $ |G|^{\chi(S)-1} \left( \sum_{\lambda \in \hat{G}_1} (\dim \lambda)^{\chi(S)} + \sum_{\lambda \in \hat{G}_4} (-\dim \lambda)^{\chi(S)} \right) $ で与えられ、収束条件を満たす。
• これらの公式は、半単純コンパクトリー群の場合にウィッテンおよびリウのシンプレクティック体積とリードマイスター torsion に関する結果を定数倍の違いを除いて回復する。
• 押し出し測度による体積定義は、提示に依存しない一貫した不変量を提供し、有限群の古典的公式をコンパクトリー群へ一般化する。