[論文レビュー] Volume Preserving Diffeomorphisms with Weak and Limit Weak Shadowing

Manseob Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、閉じた $C^∞$ 2次元多様体上の体積保存微分同相写像に関して、$C^1$-内部弱シャドーイング性、$C^1$-内部極限弱シャドーイング性、およびアノソフ条件の同値性を確立する。正規双曲性とシャドーイング技法を用いて、このような微分同相写像が、弱シャドーイングまたは極限弱シャドーイング集合の $C^1$-内部に属するときかつそのときに限りアノソフ的であることを証明し、微分動学における主要な安定性および構造的特徴付け問題を解決する。

ABSTRACT

Let f be a volume-preserving diffeomorphism of a closed C1 n-dimensional Riemannian manifold M: In this paper, we prove the equivalence between the following conditions: (a) f belongs to the C1-interior of the set of volume-preserving diffeomorphisms which satisfy the weak shadowing property, (b) f belongs to the C1-interior of the set of volume-preserving diffeomorphisms which satisfy the limit weak shadowing property, (c) f is Anosov.

研究の動機と目的

• 弱シャドーイングを有する体積保存微分同相写像の $C^1$-内部を構造的安定性の観点から特徴づけること。
• 極限弱シャドーイングの $C^1$-内部が、Axiom A 条件およびサイクルなし条件を含意するかどうかを検討すること。
• 閉じた 2次元多様体上での $C^1$-内部弱シャドーイング、$C^1$-内部極限弱シャドーイング、およびアノソフ性の同値性を確立すること。
• 極限弱シャドーイングの $C^1$-内部が強い横断性を含意するかどうかという問題を解決し、それが成り立たないことを示すこと。

提案手法

• 極限擬軌道と、軌道の $\epsilon$-近傍を通じた弱シャドーイングの定義を用いて、極限弱シャドーイング性を定式化する。
• 不変部分多様体（曲線または円板）に対する正規双曲性理論を適用し、シャドーイング行動を分析する。
• 特定の $\delta$-極限擬軌道を、正規双曲的不変集合上に構成することで背理法を用いる。
• 非双曲的周期点が極限弱シャドーイング条件のもとで矛盾を引き起こすことを示すために、$C^1$-摂動技法を用いる。
• 任意の $n \in \mathbb{Z}$ に対して、$f$ が $\Lambda$ 上で極限弱シャドーイング性を有するならば $f^n$ も同様であるという事実を用い、問題を周期点の解析に還元する。
• Sakai らの $\Omega$-安定性およびシャドーイングに関する結果を応用し、構造的性質と内部シャドーイング条件との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱シャドーイング性を有する体積保存微分同相写像の $C^1$-内部が、2次元多様体上でアノソフ条件を含意するか。
• RQ2 閉じた 2次元多様体上での体積保存微分同相写像について、極限弱シャドーイング性の $C^1$-内部がアノソフ条件と同値か。
• RQ3 極限弱シャドーイング集合の $C^1$-内部に属する微分同相写像が、強い横断性条件を満たさないことがあるか。
• RQ4 正規双曲的部分多様体上での極限弱シャドーイング性が、その部分多様体上での力学が非自明であることを強制するか。
• RQ5 体積保存系における弱シャドーイングの $C^1$-内部と極限弱シャドーイングの $C^1$-内部の関係は何か。

主な発見

• 弱シャドーイング性を有する体積保存微分同相写像の $C^1$-内部は、閉じた 2次元多様体上ではアノソフ条件と同値である。
• 極限弱シャドーイング性を有する体積保存微分同相写像の $C^1$-内部も、同様にアノソフ条件と同値である。
• 極限弱シャドーイング集合の $C^1$-内部に属する微分同相写像のすべての周期点は双曲的でなければならない。
• 正規双曲的弧または円板上での極限弱シャドーイング性は、写像がその部分多様体上で恒等写像でないことを示唆する。
• Axiom A およびサイクルなし条件を満たすが、強い横断性条件を満たさない微分同相写像が、極限弱シャドーイング集合の $C^1$-内部に存在する。
• $C^1$-内部弱シャドーイング性は、閉じた 2次元多様体上での $C^1$ 体積保存微分同相写像に対して $\Omega$-安定性を含意するため、結果として Axiom A およびサイクルなし条件が成立する。