[論文レビュー] Volume preserving subgroups of A and K and singularities in unimodular geometry

Wojciech Domitrz, J. H. Rieger|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単調幾何におけるMatherのAおよびK群の体積保存部分群を調査し、これらの部分群の下での写像局所写像の無限小モジュライ空間について明示的な同型を導出する。複素数体上ではA_Ωₚ-安定写像のモジュライ空間は自明であり、K_Ωₙ-単純特異点はその分類を保ちながらも、A_Ωₙ-安定写像は無限次元のモジュライを持つことが判明し、体積保存設定下での新たな関数的モジュライが現れる。

ABSTRACT

For a germ of a smooth map f and a subgroup G_V of any of the Mather groups G for which the source or target diffeomorphisms preserve some given volume form V in the source or in the target we study the G_V-moduli space of f that parameterizes the G_V-orbits inside the G-orbit of f. We find, for example, that this moduli space vanishes for A-equivalence with volume-preserving target diffeomorphisms and A-stable maps f and for K-equivalence with volume-preserving source diffeomorphisms and K-simple maps f. On the other hand, there are A-stable maps f with infinite-dimensional moduli space for A-equivalence with volume-preserving source diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• 体積保存部分群を有するAおよびK群の単調幾何における写像局所写像のモジュライ空間を分析すること。
• これらのモジュライ空間が消えるか、無限次元になる条件を特定すること、特に安定写像および単純写像の場合に注目すること。
• ベクトル場の発散に関する一般同型を、無限小モジュライ空間について確立すること。
• 体積形式が分類問題における役割を明確にすること、特に関数的モジュライが存在する状況において。

提案手法

• 無限小モジュライ空間と商空間 $ C_r / \mathrm{div}(LG_f^q) $ の間の同型を導出する。ここで、$ r = q $ は大多数の群に対して成り立ち、$ \mathcal{K}_{\Omega_p} $ に対しては $ r = n $ である。
• ベクトル場の発散写像 $ \mathrm{div}: \mathcal{M}_q \cdot \theta_q \to C_r $ を用いて、安定化子に属するベクトル場とモジュライ空間を関連付ける。
• コホモロジー的技法を適用し、$ \mathcal{K}_{\Omega_n} $ の場合、モジュライ空間が $ f $ の成分によって生成されるイデアルに関連するde Rham部分複体の $ n $ 次コホモロジーと同型であることを示す。
• $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $ の場合、$ L\mathcal{A}_f^p = \mathrm{Lift}(f) $ が成り立つ限り（これは判別式または像関連条件を満たす場合に成立）、モジュライ空間は $ C_r / \mathrm{div}(L\mathcal{A}_f^p) $ と同型である。
• 具体的な例（例えば、折りたたみ写像 $ f = (x, y^2) $）に理論を適用し、モジュライ次元を計算し、$ \mathcal{A}_{\Omega_n} $ の下で無限次元のモダリティを示す。
• $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $ および $ \mathcal{L}_{\Omega_p} $ 群を用いて、単純特異点（例えば、カスプ $ (x^2, x^3) $）に対しても非自明なモジュライが生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積保存部分群を有する $ \mathcal{A} $ および $ \mathcal{K} $ 群の $ G_{\Omega_q} $-モジュライ空間が、写像局所写像に対していつ消えるか。
• RQ2 $ \mathbb{C} $ 上の $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $-安定写像は、関数的モジュライなしに分類可能か。これは標準的 $ \mathcal{A} $-分類と一致するか。
• RQ3 $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-単純な完全交差特異点のモジュライ空間の構造は何か。これは標準的 $ \mathcal{K} $-分類と一致するか。
• RQ4 $ \mathcal{A}_{\Omega_n} $-安定写像は常に無限次元のモジュライを持つのか。また、安定化子内のベクトル場の発散によってその事実は検出可能か。
• RQ5 $ \mathcal{L}_{\Omega_p} $ や $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $ のような体積保存部分群はモダリティにどのように影響するか。単純特異点に対しても非自明なモジュライを生じるか。

主な発見

• $ \mathbb{C} $ 上の $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $-安定写像に対して、$ \mathcal{A}_{\Omega_p} $-モジュライ空間は自明であり、関数的モジュライは生じず、標準的 $ \mathcal{A} $-分類と一致する。
• $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-単純な完全交差特異点に対して、$ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-モジュライ空間は自明であるため、分類は標準的 $ \mathcal{K} $-分類と一致する。
• 折りたたみ写像 $ f = (x, y^2) $ は、$ \dim C_n / \mathrm{div}(L\mathcal{A}_f^n) $ が無限大であるため、$ \mathcal{A}_{\Omega_n} $-モジュライ空間が無限次元である。
• 平面上のカスプ $ f = (x^2, x^3) $ に対して、$ \mathcal{L}_{\Omega_p} $-モダリティは2である。なぜなら $ C_p / \mathrm{div}(L\mathcal{L}_f^p) \cong \mathbb{K}\{1, y_1\} $ であり、独立なモジュライが2つ存在するため。
• 写像 $ f = (x, y^2) $ に対して $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $ の下では、$ C_n / \mathrm{div}(L\mathcal{C}_f^p) \cong \mathbb{K}\{1, y\} $ であるため、$ \mathcal{C}_{\Omega_p} $-モジュライは2つ存在する。
• $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-モジュライ空間は、$ f_1, \dots, f_p $ が生成するイデアルに関連するde Rham部分複体の $ n $ 次コホモロジーと同型であり、モジュライのコホモロジー的解釈が得られる。