[論文レビュー] Volume product of planar polar convex bodies --- lower estimates with stability

Károly J. Böröczky, Endre Makai+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平面における凸体の体積積 |K|·|K*| について、Banach-Mazur 距離における安定性推定を含めた鋭い下界を確立する。原点対称の凸体では体積積が 8 以上（等号成立は平行四辺形のとき）、重心が原点にある三角形では 27/4 以上、n 回回転対称の場合は n²sin²(π/n) 以上であり、等号成立は正 n 角形のとき。安定性結果として、極値形状（平行四辺形、三角形、正 n 角形）に近い凸体では、下界が定数倍の要因を除いて成り立つことが示された。

ABSTRACT

Let $K \subset {\mathbb R}^2$ be an $o$-symmetric convex body, and $K^*$ its polar body. Then we have $|K|\cdot |K^*| \ge 8$, with equality if and only if $K$ is a parallelogram. ($| \cdot |$ denotes volume). If $K \subset {\mathbb R}^2$ is a convex body, with $o \in { ext{int}}\,K$, then $|K|\cdot |K^*| \ge 27/4$, with equality if and only if $K$ is a triangle and $o$ is its centroid. If $K \subset {\mathbb R}^2$ is a convex body, then we have $|K| \cdot |[(K-K)/2)]^* | \ge 6$, with equality if and only if $K$ is a triangle. These theorems are due to Mahler and Reisner, Mahler and Meyer, and to Eggleston, respectively. We show an analogous theorem: if $K$ has $n$-fold rotational symmetry about $o$, then $|K|\cdot |K^*| \ge n^2 \sin ^2 ( π/n)$, with equality if and only if $K$ is a regular $n$-gon of centre $o$. We will also give stability variants of these four inequalities, both for the body, and for the centre of polarity. For this we use the Banach-Mazur distance (from parallelograms, or triangles), or its analogue with similar copies rather than affine transforms (from regular $n$-gons), respectively. The stability variants are sharp, up to constant factors. We extend the inequality $|K|\cdot |K^*| \ge n^2 \sin ^2 ( π/n)$ to bodies with $o \in { ext{int}}\,K$, which contain, and are contained in, two regular $n$-gons, the vertices of the contained $n$-gon being incident to the sides of the containing $n$-gon. Our key lemma is a stability estimate for the area product of two sectors of convex bodies polar to each other. To several of our statements we give several proofs; in particular, we give a new proof for the theorem of Mahler-Reisner.

研究の動機と目的

• 平面における凸体 K に対して、さまざまな対称性および中心条件の下で体積積 |K|·|K*| の鋭い下界を確立すること。
• 既知の極値不等式の安定性推定を提供し、体積積が最小値にほぼ達するには、凸体が極値形状（例：平行四辺形、三角形、正 n 角形）からどれほど近いかを定量的に評価すること。
• 頂点と辺の接続関係を満たす正 n 角形の2つの間にはさまれた凸体に対しても、体積積不等式を拡張すること。
• 幾何学的・解析的技法を用いて、Mahler–Reisner 不等式の新たな証明を提供すること。

提案手法

• Banach-Mazur 距離を用いて、凸体が極値形状（平行四辺形、三角形、正 n 角形）からどれほど近いかを測定し、安定性推定を可能にする。
• Santaló 点と双対性理論を応用し、問題を対称的または正規化された設定に還元する。
• 凸体の2つの双対的扇形の面積積に関するキーレイマの安定性を用いる。
• 辺の直線を平行移動することで、比較用の三角形や正 n 角形を含むネストされた凸体を構成する。
• パラメータ族（例：f_t = (g + h)/2）における凸性および線形性の議論を用いて、体積積の最小性を証明する。
• 文献 [57] および [64] の技法を応用し、Mahler–Reisner 不等式の新たな証明を含む新規な証明を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R² における原点対称凸体 K に対して、体積積 |K|·|K*| の鋭い下界は何か？ また、等号成立はいつか？
• RQ2 原点を中心とする n 回回転対称を持つ場合、体積積はどのように振る舞い、極値ケースは何か？
• RQ3 体積積不等式に対して安定性推定を確立できるか？ 体積積が最小値にほぼ達するには、凸体が極値形状（例：平行四辺形、三角形）からどれほど近いかを定量的に評価できるか？
• RQ4 頂点と辺の接続関係を満たす正 n 角形の2つの間にはさまれた凸体 K に対して、体積積の下界は何か？
• RQ5 幾何学的・解析的技法を用いて、Mahler–Reisner 不等式の新たな証明を与えることができるか？

主な発見

• 任意の R² における原点対称凸体 K に対して、|K|·|K*| ≥ 8 が成り立ち、等号成立は K が平行四辺形である場合に限る。
• 原点を内部に持ち、原点が重心である凸体 K に対して、|K|·|K*| ≥ 27/4 が成り立ち、等号成立は K が三角形である場合に限る。
• K が原点を中心とする n 回回転対称を持つ場合、|K|·|K*| ≥ n²sin²(π/n) が成り立ち、等号成立は K が正 n 角形である場合に限る。
• 安定性推定が確立された：K が平行四辺形（または三角形）からの Banach-Mazur 距離が小さいとき、体積積は最小値から定数倍の要因を除いて離れない。
• 頂点が外側の正 n 角形の辺に接する内側の正 n 角形と外側の正 n 角形の間にはさまれた凸体 K に対して、体積積は |K|·|[(K−K)/2]*| ≥ 6 を満たし、等号成立は K が三角形である場合に限る。
• パラメータ族を用いた凸体と、逆極体体積積の凸性を用いて、Mahler–Reisner 不等式の新たな証明が与えられた。