[論文レビュー] Volumes of Nonnegative Polynomials, Sums of Squares and Powers of Linear Forms

Grigoriy Blekherman|ArXiv.org|Feb 10, 2004

Mathematical Approximation and Integration参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定された次数 $2k > 2$ に対して、$n$ 変数における非負の同次多項式の錐、平方和の錐、線形形式の $2k$ 乗和の錐の間の漸近的体積比を定量化する。単位球面上での積分による $L^2$ ノルム付き断面を用い、$n \to \infty$ のとき、これらの体積比はそれぞれ $n^{-1/2}$、$n^{-k/2}$、$n^{-k+1/2}$ のオーダーに比例することが示され、$n$ が大きくなるにつれてサイズの顕著な差が生じることを明らかにする。これは、非負多項式の集合が平方和の集合を著しく上回り、平方和の集合が線形形式の $2k$ 乗和の集合を著しく上回ることを示唆している。

ABSTRACT

We study the quantitative relationship between the cones of nonnegative polynomials, cones of sums of squares and cones of sums of powers of linear forms. We derive bounds on the volumes (raised to the power reciprocal to the ambient dimension) of compact sections of the three cones. We show that the bounds are asymptotically exact if the degree is fixed and number of variables tends to infinity. When the degree is larger than two it follows that there are significantly more non-negative polynomials than sums of squares and there are significantly more sums of squares than sums of powers of linear forms. Moreover, we quantify the exact discrepancy between the cones; from our bounds it follows that the discrepancy grows as the number of variables increases.

研究の動機と目的

• 同次多項式空間における、非負多項式、平方和、線形形式の $2k$ 乗和の3つの入れ子になった凸錐の相対的サイズを定量化すること。
• 固定次数 $2k > 2$ に対して、変数の数 $n$ に依存するこれらの錐のサイズの漸近的メトリクス的依存関係を理解すること。
• 自然な $L^2$ ノルム付き超平面断面を用いて、これらの錐のコンact断面に対する鋭い体積評価（定数を除いて）を確立すること。
• これらの錐の間の差が $n$ と共に著しく拡大することを示し、非負性のテストを平方和のテストに効率的に置き換えることはできないことを示すこと。

提案手法

• 単位球面 $S^{n-1}$ 上で積分が1となる形のアフィン超平面と各錐を交差させ、それらを積分が0となる線形超平面 $M_{n,2k}$ に平行移動することで、コンact凸体 $\widetilde{C}$, $\widetilde{Sq}$, $\widetilde{Lf}$ を定義する。
• 多項式空間 $P_{n,2k}$ 上のユークリッド的計量として $L^2$ 内積 $\langle f,g \rangle = \int_{S^{n-1}} fg \, d\sigma$ を用い、体積を $M_{n,2k}$ 内の単位球 $B_M$ に対して正規化する。
• ブラシュケ＝サントラレの不等式を適用し、凸体の体積とその極体の体積の関係を関係づけ、体積比の推定を可能にする。
• 双対性の利用：微分計量において、線形形式の $2k$ 乗和の錐は非負多項式の錐の双対である。この関係を、恒等式 $\langle f, v^{2k} \rangle_D = (2k)! f(v)$ を用いて積分計量へと関連付ける。
• 既知の平方和の錐およびその双対錐における恒等作用素の $L^2$ ノルムに関する既知の評価を活用し、体積の下界および上界を導出する。
• 補題6.2を適用し、微分計量における双対錐の体積を積分計量における体積と関連づける。ここで $r^{2k}$ がすべての3つの錐の内部に属することを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定次数 $2k > 2$ に対して、非負多項式の錐、平方和の錐、線形形式の $2k$ 乗和の錐の相対体積は、変数の数 $n$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ2 $n \to \infty$ のとき、これらの錐の間の体積比は漸近的にタイトか？ もしそうならば、正確なオーダーは何か？
• RQ3 特に非負多項式と平方和の間の差が、非負性のテストを平方和のテストに置き換えることの計算的非効率性を反映する形で定量化可能か？
• RQ4 体積比較のための自然で回転不変な断面を定義するにあたり、$L^2$（球面上）の計量の選択が果たす役割は何か？
• RQ5 体積比は次数 $2k$ にどのように依存するか？ $k$ を固定したまま $n$ が増加するときにはどうなるか？

主な発見

• 非負多項式の錐の断面の正規化体積は、$\big(\text{Vol}\,\widetilde{C}/\text{Vol}\,B_M\big)^{1/D_M} \asymp n^{-1/2}$ を満たし、定数は $k$ のみに依存する。
• 平方和の錐の断面の正規化体積は、$\big(\text{Vol}\,\widetilde{Sq}/\text{Vol}\,B_M\big)^{1/D_M} \asymp n^{-k/2}$ を満たし、$k > 1$ のとき非負多項式の錐と比較して著しく速やかに減少することが示される。
• 線形形式の $2k$ 乗和の錐の断面の正規化体積は、$\big(\text{Vol}\,\widetilde{Lf}/\text{Vol}\,B_M\big)^{1/D_M} \asymp n^{-k+1/2}$ を満たし、$k > 1$ のとき平方和の錐より遅く、非負多項式の錐より速く減少することが示される。
• 固定 $k$ に対して $n \to \infty$ のとき、これらの評価は漸近的にタイトであり、体積減少のオーダーが鋭いことが示される。
• 錐間の差が $n$ と共に著しく拡大する。これは、$n$ が大きい場合には非負多項式の集合が平方和の集合に対して指数的に大きく、平方和の集合が線形形式の $2k$ 乗和の集合に対して指数的に大きいことを示唆する。
• 結果として、次数 $>2$ では一般に非負性のテストを平方和のテストに置き換えることは計算的に非現実的であることが示唆される。これは錐のサイズの著しい差に起因する。