[論文レビュー] Von Neumann equivalence and properly proximal groups

Ishan Ishan, Jesse Peterson+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、測度同値性および $W^{*}$-同値性よりも粗い同値関係であるヴォイェシュタイン同値性を導入し、アメニタリティ、性質 (T)、ハーガーププロパティ、および適切な近傍性といった解析的性質がこの同値性のもとで保存されることを確立している。また、適切な近傍性が測度同値性および $W^{*}$-同値性のもとで不変であることを証明し、内部的アメニタリティでないが適切に近傍的でない群の新しい例を提示している。

ABSTRACT

We introduce a new equivalence relation on groups, which we call von Neumann equivalence, that is coarser than both measure equivalence and $W^*$-equivalence. We introduce a general procedure for inducing actions in this setting and use this to show that many analytic properties, such as amenability, property (T), and the Haagerup property, are preserved under von Neumann equivalence. We also show that proper proximality, which was defined recently by Boutonnet, Ioana, and the second author using dynamics, is also preserved under von Neumann equivalence. In particular, proper proximality is preserved under both measure equivalence and $W^*$-equivalence, and from this we obtain examples of non-inner amenable groups that are not properly proximal.

研究の動機と目的

• 測度同値性および $W^{*}$-同値性よりも粗い新しい群の同値関係、すなわちヴォイェシュタイン同値性を定義すること。
• ヴォイェシュタイン同値性のもとで群間の解析的性質を移すための一般的手続きを構築すること。
• 最近導入された動的性質である適切な近傍性がヴォイェシュタイン同値性のもとで保存されることを示すこと。
• 適切な近傍性が測度同値性および $W^{*}$-同値性のもとで不変であることを示し、その不変性をより広い群のクラスに拡張すること。
• 内部的アメニタリティでないが適切に近傍的でない群の新しい例を構成し、群の性質の分類における空白を埋めること。

提案手法

• MEカップリングと関連するジンマールコサイクルを用いてヴォイェシュタイン同値性を定義し、測度同値性を一般化する。
• 双対バナッハ $Λ$-加群 $K$ に対して、MEカップリングからのコサイクルを用いて $L^{∞}(X;K)$ 上の誘導された作用を構成する。
• 誘導された作用を用いて、ヴォイェシュタイン同値性のもとで、ある群から別の群へ適切に近傍的な点の存在を移すこと。
• MEカップリングからのコサイクルが適切であることを証明し、誘導された作用における収束点を上げるのに不可欠であることを示す。
• 補題 A.1 で用いられる固定点統合技法を適用し、$L^{∞}(X;K)$ 内の $Γ$-不変点と $K$ 内の $Λ$-不変点を関連付ける。
• 誘導された作用における収束点の安定性を活用し、適切な近傍性がヴォイェシュタイン同値性のもとで保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度同値性および $W^{*}$-同値性よりも粗い同値関係を定義でき、主要な解析的群性質を保存することができるか？
• RQ2 双対バナッハ加群上の力学的性質として定義された適切な近傍性は、ヴォイェシュタイン同値性のもとで不変か？
• RQ3 ヴォイェシュタイン同値性のもとでの適切な近傍性の不変性は、内部的アメニタリティでないが適切に近傍的でない群の新しい例を生じさせるか？
• RQ4 コサイクルを用いた誘導された作用の構成は、同値な群間で収束点および動的性質を移すのに利用可能か？
• RQ5 誘導された作用における収束点の安定性と、アメニタリティや性質 (T) などの解析的性質の保存との関係は何か？

主な発見

• ヴォイェシュタイン同値性は、測度同値性および $W^{*}$-同値性よりも粗い同値関係であり、これらを統合・一般化する。
• アメニタリティ、性質 (T)、ハーガーププロパティは、誘導された作用の構成によってヴォイェシュタイン同値性のもとで保存される。
• 適切な近傍性は、$L^{∞}(X;K)$ 上の誘導された作用における収束点の持ち上げによって、ヴォイェシュタイン同値性のもとで保存される。
• 元の作用 $\Lambda{\,→\,}K$ が適切に近傍的で、コサイクルが適切であるとき、誘導された作用 $\Gamma{\,→\,}L^{\u221e}(X;K)$ は適切に近傍的な点の存在を保存する。
• 測度同値性および $W^{*}$-同値性はヴォイェシュタイン同値性の特別な場合であるため、適切な近傍性は両者のもとでも保存される。
• 本論文は、内部的アメニタリティでないが適切に近傍的でない群の新しい例を構成し、群の性質の分類における空白を埋めている。